XII Olimpíada de la Cuenca del Pacífico

16 de Marzo de 2000

1

Calcular la suma

donde x_i = i / 101 para cada i.

2

En los círculos de la figura hay que distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 colocando en cada círculo, de modo que se verifiquen simultáneamente las siguientes dos condiciones:

i) Las sumas de los cuatro números en cada lado del triángulo sean iguales;

ii) las sumas de los cuadrados de los cuatro números en cada lado del triángulo sean iguales.

Hallar todas las posibles distribuciones.

3

En un triángulo ABC, sean M y N los puntos en los que la mediana y la bisectriz trazadas desde A intersectan al lado BC, respectivamente. Sean P y Q los puntos en los que la perpendicular a NA trazada por N intersecta a MA y BA, respectivamente, y O el punto en el que la perpendicular a BA trazada desde P intersecta a AN. Demostrar que QO es perpendicular a BC.

4

Sean n, k enteros positivos, con n > k. Demostrar que

5

Dada una permutación (a₀, a₁, ..., a_n) de la secuencia 0, 1, 2, ..., n, la operación legal es intercambiar a_i con a_j, donde i > 0, a_i = 0 y a_i-1 + 1 = a_j. La permutación (a₀, a₁, ..., a_n) se llama regular si puede transformarse en (1, 2, .., n, 0) mediante una sucesión de operaciones legales. Determinar los valores de n para los cuales la permutación (1, n, n - 1, ..., 3, 2, 0) es regular.

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