XI Olimpíada de la Cuenca del Pacífico

Marzo de 1999

1

Hallar el menor entero positivo n con la siguiente propiedad:

"No existe ninguna progresión aritmética de números reales de 1999 términos, de los cuales exactamente n términos sean números enteros".

2

Sea a₁, a₂, ... una sucesión de números reales que satisfacen a_i+j < a_i + a_j para todos i, j = 1, 2, ... Demostrar que

...

para todo entero positivo n.

3

Sean G₁ y G₂ dos circunferencias que se intersectan en P y Q. La tangente común a G₁ y G₂ más próxima a P toca a G₁ en A y toca a G₂ en B. La tangente a G₁ por P intersecta a G₂ en C, que es un punto distinto de P, y la prolongación de AP intersecta a BC en R.

Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo PQR es tangente a BR.

4

Determinar todos los pares (a,b) de enteros que tienen la propiedad de que a² + 4b y b² + 4a son ambos cuadrados perfectos.

5

Sea S un conjunto de 2n + 1 puntos del plano tales que no hay entre ellos tres alineados ni cuatro concíclicos. Una circunferencia se llamará buena si pasa por 3 puntos de S, tiene n - 1 puntos de S en su interior y los otros n - 1 puntos son exteriores a la circunferencia.

Demostrar que el número de circunferencias buenas tiene la misma paridad que n.

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