.V Certamen el
Número de Oro. 1997
Profesores
de enseñanza media.
1
Determine todos los números primos de la forma
.
2
Un polinomio f de grado 2 con coeficientes reales es tal que toda permutación de sus coeficientes determina un polinomio con las mismas raíces que f . Calcule dichas raíces.
3
Las tres bisectrices de un triángulo son de
longitud menor ó igual que uno. Demuestre que el área del
triángulo es menor ó igual que 
.
4
En una reunión de 20 personas hay exactamente 49 pares de personas que se conocían entre sí. Pruebe que alguna persona conocía a lo sumo a 4 de los asistentes.
5
Demuestre que es posible elegir 17 segmentos de longitudes enteras menores ó iguales que 1997, de manera que con ninguna terna de ellos pueda construirse un triángulo. ¿Pueden elegirse también 18 segmentos con las mismas características?
6
Sea 
. ¿Cuál de los dos números es más grande: ln2(n)
ó ln(n-1).ln(n+1)?
7
¿Existen cuatro números naturales consecutivos cuyo producto sea un cuadrado perfecto?
8
Sea P un punto interior de un hexágono regular. Se une P con cada vértice del hexágono, determinando así 6 triángulos, que coloreamos alternativamente de rojo y azul. Pruebe que la suma de las áreas de los 3 triángulos rojos coincide con la suma de las áreas de los 3 triángulos azules.
9
Tres deportistas disputarán entre sí una serie de pruebas atléticas, hasta que alguno de los participantes obtenga 3 triunfos. Se dará entonces por finalizada la competencia y se lo declarará ganador. ¿Cuál es el número más probable de pruebas a realizarse?
10
Si c es un número real positivo, consideremos la sucesión
Pruebe que converge al número de oro 
.
IV Certamen el
Número de Oro. 1997
Alumnos
del Profesorado
1
¿Para qué valores de n el desarrollo decimal de 11n tiene sus últimas dos cifras iguales?
¿Y sus últimas tres cifras iguales?
2
Sean dados dos triángulos semejantes no iguales, y tales que dos lados de uno de ellos son respectivamente iguales a dos lados del otro. Determine los posibles valores de la razón de semejanza. Demuestre que cada valor obtenido es razón de semejanza de un par de triángulos satisfaciendo las condiciones del problema.
3
Pruebe que el polinomio x3 - 2x2 + ax- 1/3 no puede tener todas sus raíces reales y positivas, cualquiera sea el número real a.
4
Supongamos que en la esfera de un reloj se altera arbitrariamente el orden usual de los números. Demuestre que cualquiera sea la permutación obtenida, siempre habrá una terna de números ocupando posiciones consecutivas de manera que la suma de los mismos sea mayor ó igual que 20.
5
Pruebe que 
es
impar y compuesto.
6
Dos alumnos colocan alternativamente números enteros en los lugares vacíos de la "ecuación"
x3 + ()x2 + ()x + () = 0.
¿Dispone el alumno que realiza el primer movimiento de alguna estrategia que le permita asegurar que al finalizar el juego siempre se obtendrá una ecuación con tres soluciones enteras?
7
Dado un triángulo, determine en su interior un punto O tal que el producto OP.OQ.OR sea máximo, siendo P, Q y R los pies de las perpendiculares a los lados que pasan por O.
8
Sea f una función de R en R, con dos derivadas continuas, verificando las condiciones:
Demuestre que existe ![x_0 pertenece a [0 , 1]](oro97_8.gif){kind=small}
tal que 
.
9
Tres deportistas disputarán entre sí una serie de pruebas atléticas, hasta que alguno de los participantes obtenga 3 triunfos. Se dará entonces por finalizada la competencia y se lo declarará ganador. ¿Cuál es el número más probable de pruebas a realizarse?
10
Si c es un número real positivo, consideremos la sucesión
Pruebe que converge al número de oro .
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