XII Certamen el Número de Oro. 2004
Profesores de enseñanza media.

1 Dadas tres rectas paralelas ( distintas) del plano y respectivamente m, n y r puntos sobre ellas de modo que una y sólo una transversal pasa por  tres de los puntos. ¿ Cuántos triángulos quedan determinados con vértices en dichos puntos?

2  Halle todos los posibles valores del máximo común divisor entre  y , n es un número natural.

3  Dado un cuadrilátero convexo cualquiera, demuestre que con regla y compás puede construirse un cuadrado de igual área, indicando los pasos  de la construcción.

4  El polinomio no tiene ninguna raíz mayor que 1.

5  Sea x un número real. Pruebe que entre los números x, 2x,….(n-1)x , n un número natural, hay uno que difiere a lo sumo en de un entero.

6  Sea el polinomio . Para x, y enteros, ¿ cuántos valores de P(x,y) verifican ?

7 Si a, b y c son enteros consecutivos y b es un cubo perfecto, ¿ cuál es el mayor número natural del que puede afirmarse que divide al producto de los  tres números?

8 Sea ABCDV una pirámide cuya base es el paralelogramo ABCD  y E, F puntos en las aristas VA y VB respectivamente de modo que la recta que determinan no es paralela a AB. Determine un punto P en el interior de la cara VCD de modo que la intersección del tetraedro con el plano que determinan E, F y P sea un pentágono.

9 Haciendo un giro de 45° con centro en el centro de un cuadrado de lado a se obtiene una estrella de 8 vértices. Demuestre que la misma puede descomponerse en 8 piezas con las cuales puede formarse un nuevo cuadrado. Calcule su lado.

10   Encuentre una sucesión de números reales positivos: que verifique:      
                                                      .  Demuestre que es única.

XI Certamen el Número de Oro. 2004
Alumnos del Profesorado

1   Sea A el conjunto de números naturales menores o iguales que 100.¿ Cuál es el número de subconjuntos de A de 3 elementos que no tienen 2 naturales consecutivos?

2  Sea el polinomio . Pruebe que para todo valor natural de la variable x, P(x) es un número natural.

3  Dadas dos rectas t y t´ secantes en el punto O y  un punto A que no pertenezca a ninguna de ellas, construya con regla y compás una circunferencia que pase por A y sea tangente a ambas.

4  Encuentre un número natural n de modo que  sea un cuadrado.

5 En un tablero que es un rectángulo cuadriculado de 3 filas y 7 columnas se coloca un 1 ó un 0 en cada cuadrado. Demuestre que cualquiera sea la disposición elegida, puede encontrarse un rectángulo en el tablero de modo que en los cuadrados ubicados en los 4 vértices aparezca el mismo número.

6 Si existe un número natural x tal que  y son ambos cuadrados para un natural h, entonces 24 divide a h.

7 Halle el resto de dividir 69!( 60! + 1 ) por 71.

8 Sea ABCDV una pirámide cuya base es el paralelogramo ABCD  y E, F puntos en las aristas VA y VB respectivamente de modo que la recta que determinan no es paralela a AB. Determine un punto P en el interior de la cara VCD de modo que la intersección del tetraedro con el plano que determinan E, F y P sea un pentágono.

9  Haciendo un giro de 45° con centro en el centro de un cuadrado de lado a se obtiene una estrella de 8 vértices. Demuestre que la misma puede descomponerse en 8 piezas con las cuales puede formarse un nuevo cuadrado. Calcule su lado.

10  Encuentre una sucesión de números reales positivos: que verifique:

                          .      Demuestre que es única.

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