X Certamen el Número de Oro. 2002
Profesores de enseñanza media.

1  Pruebe que la "constante mágica" de un cuadrado mágico de  es un múltiplo de 3.

2  Dado un cuadrilátero convexo, hallar un punto O de su interior tal que los segmentos que unen O con los puntos medios de sus lados lo descompongan en 4 figuras de igual área..

3  Calcule la suma   .

4  ¿Para qué valores de n las rectas tangentes a la curva  cubren todo el plano ?

5  Dadas en el plano 3 rectas paralelas , construya con regla y compás un triángulo equilátero  tal que .

6  Alrededor de una mesa se encuentran sentados 11 mujeres y 10 hombres. Si se reubica a las personas haciendo que cada una de ellas se desplace k lugares hacia su izquierda , ¿es posible que en la nueva disposición cada asiento esté ocupado por una persona del mismo sexo que en la anterior?

7 Sea  una función tal que ,  y , . Halle x tal que .

8 Si tres esferas tienen un punto en común P, pero ninguna recta que pasa por P es tangente a las tres, demuestre que tienen otro punto en común.

9 Tres jugadores A, B y C arrojan alternativamente (en ese orden) una moneda equilibrada. Los jugadores A y B ganan el juego si en alguna de sus tiradas obtienen el mismo resultado que C en su tirada anterior, mientras que C gana si obtiene en alguna tirada el mismo resultado que A en su anterior intervención. El juego finaliza cuando algún jugador gana. Si A apuesta $20, ¿cuánto deben apostar B y C para que las chances sean parejas?

10   Halle las dimensiones de un paralelepípedo rectangular de volumen 1 cuya diagonal principal mide 2, sabiendo además que su superficie lateral es el doble de la suma de sus 3aristas (dimensiones).

IX Certamen el Número de Oro. 2002
Alumnos del Profesorado

1  ¿Cuántos cuadrados mágicos de  se pueden diseñar utilizando los dígitos no nulos?

2 Consideremos  con un sistema ortonormal de coordenadas . Sea ABC un triángulo equilátero, donde  es un punto fijo y  es variable. Halle el lugar geométrico que determinan los vértices C cuando B recorre el eje OX.

3 ¿En cuánto difiere  del múltiplo de 2017 más cercano?

4  Sean a y b números reales positivos tales que . Compare  y .

5 Dadas en el plano 3 rectas paralelas , sea  un triángulo equilátero tal que . Calcule el área del triángulo, sabiendo que la distancia de  a  es a y que la distancia de  a  es b .

6 Consideremos los números determinados por todas las permutaciones de 123456 que dejan fijo a 3 ó a 4. Calcule la suma de los mismos.

7 Sea  la sucesión definida inductivamente por las relaciones , , y  si . Calcule la suma de la serie .

8  Si 3 esferas tienen un punto en común P, pero ninguna recta que pasa por P es tangente a las tres, demuestre que tienen otro punto en común.

9  Tres jugadores A, B y C arrojan alternativamente (en ese orden) una moneda equilibrada. Los jugadores A y B ganan el juego si en alguna de sus tiradas obtienen el mismo resultado que C en su tirada anterior, mientras que C gana si obtiene en alguna tirada el mismo resultado que A en su anterior intervención. El juego finaliza cuando algún jugador gana. Si A apuesta $20, ¿cuánto deben apostar B y C para que las chances sean parejas?

10 Halle las dimensiones de un paralelepípedo rectangular de volumen 1 cuya diagonal principal mide 2, sabiendo además que su superficie lateral es el doble de la suma de sus aristas.

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