.VII Olimpíada
Matemática Rioplatense
7 al 14 de
Diciembre de 1998
| nivel A |
1
Patricia marca sobre un pedazo de cartulina cuadrada ABCD su
centro O; luego recorta del cuadrado el triángulo AOB,
y obtiene un pedazo de cartulina AOBCD.
Muestra cómo Patricia puede cubrir todo el plano con piezas
todas idénticas a AOBCD, sin que éstas se superpongan ni
dejen huecos.
2
Tenemos un tablero cuadriculado de 100 × 100. Las filas fueron numeradas de 1 a 100, de arriba hacia abajo. Del mismo modo, las columnas fueron numeradas de 1 a 100, de izquierda a derecha. A continuación, en cada columna, se pintaron las casillas que están en las filas cuyo número es un divisor del número de la columna. (Por ejemplo, en la columna 12, se pintaron las casillas de las filas 1, 2, 3, 4, 6 y 12; en la columna 13, se pintaron las casillas de las filas 1 y 13).
3
En una circunferencia se marcaron 10 puntos blancos y 1 punto
negro. Consideremos todos los posibles polígonos (convexos) que
tienen sus vértices en estos puntos.
Separamos los polígonos en dos tipos:
Tipo 1: los que tienen solamente vértices blancos;
Tipo 2: los que tienen al punto negro como uno de sus vértices.
¿Hay más polígonos del tipo 1 o del tipo 2? ¿Cuántos más?
4
Un programa de computadora permite realizar dos operaciones:
., pero está prohibido apretar la tecla B si (n
-1) no es múltiplo de 3.
Todas las computadoras tienen inicialmente el número 3 en la
pantalla.
Se propuso a los alumnos de la clase que cada uno hiciera seis
operaciones. Sabemos que dos de los alumnos obtuvieron como
resultado final dos números naturales consecutivos. ¿Cuáles
son esos dos números?
5
Tenemos una cartulina con forma de triángulo equilátero (o sea, un triángulo con los tres lados iguales).
6
En una ciudad hay tres clubes. Cada habitante es socio de por lo menos uno de los clubes. En cada club, como máximo el 20% de los socios son hombres.
En ambos casos explica porqué.
| nivel 1 |
1
En un pentágono regular ABCDE, trazamos las diagonales
AC y BE, que se cortan en el punto P.
Recortamos el triángulo APB y obtenemos así el hexágono
APBCDE. Tenemos una colección infinita de piezas iguales
al hexágono APBCDE en tamaño y forma.
Muestra que se puede embaldosar el plano con estas piezas.
NOTA: Embaldosar el plano significa cubrirlo con piezas sin que éstas se superpongan, ni dejen huecos.
2
Se tiene un tablero cuadriculado de 100x100. Las filas están
numeradas de 1 a 100, de arriba hacia abajo. Del mismo modo, las
columnas están numeradas de 1 a 100, de izquierda a derecha. En
cada columna se marcan las casillas que están en las filas cuyo
número es un divisor del número de la columna. Luego, en cada
casilla marcada, se escribe el número de la fila en la que se
encuentra. Por ejemplo, en la columna 10, se escriben los
números 1, 2, 5 y 10 en las filas 1, 2, 5 y 10, respectivamente.
Prueba que la suma de todos los números escritos en las casillas
marcadas es menor que 10000.
3
Se tiene un cuadrado de lado 1999. ¿Es posible dividirlo
completamente en varios cuadrados (más de uno) que tengan lados
de longitudes enteras mayores que 35?
Justifica tu respuesta.
NOTA: Los cuadrados pueden ser de distintos tamaños.
4
Los números 1, 2, 3, ... se colocan de la siguiente manera:
En la figura sólo se muestra la distribución de 16 números, pero si continuamos el proceso siguiendo el mismo esquema, ¿qué número ocupa la posición 1998 y en qué nivel se encuentra?
5
Prueba que si se dan 101 números enteros positivos cualesquiera, es posible elegir 11 de ellos cuya suma sea divisible por 11.
6
En un trapecio ABCD de bases AB y CD se
eligen los puntos M y N en los lados AD y BC,
respectivamente, de modo que 
Si MN intersecta a las diagonales AC y BD en P y Q, respectivamente, demuestra que MP=NQ.
| nivel 2 |
1
A cada número entero positivo n se le asocia un entero no negativo f(n), de modo que se cumplen las siguientes condiciones:
Halle f(1998) sabiendo que es menor que 10.
2
Un hombre camina pisando los durmientes de la vía del ferrocarril, recorriendo un tramo rectilíneo de vía de 1 km de longitud. (Los durmientes o traviesas son los maderos que soportan los rieles de la vía). Las características de este tramo son: