Mendoza, 10 y 11 de diciembre de 1997

Primer día

1

Hay 1997 números escritos alrededor de una circunferencia: 1996 son 0 y uno de ellos es 1. La única operación permitida es elegir un número y modificar sus dos vecinos, reemplazando 0 por 1 y 1 por 0.

1. Demostrar que es posible, usando varias veces la operación permitida, llegara a tener alrededor de la circunferencia todos los números iguales a 1.
2. Decidir si con 1998 números, uno de ellos igual a 1 y los restantes 1997 iguales a 0, es posible llegar al resultado de la parte anterior.

2

Demostrar que no es posible dibujar dos triángulos de área 1 dentro de un círculo de radio 1 de manera que los triángulos no tengan puntos en común.

3

Al concierto del Instituto Rioplatense de la Matemática asistieron 1997 personas entre peruanos, bolivianos, paraguayos y venezolanos. Cada persona pagó su boleto de entrada la cantidad entera comprendida entre $1 y $499, inclusive, que voluntariamente quiso aportar.

1. Demostrar que hubo al menos dos personas de la misma nacionalidad que pagaron lo mismo.
2. Se sabe que se vendieron boletos de cada uno de los precios, que el mayor número de veces que se repitió el precio de un boleto fue 10 y que la recaudación fue la mínima posible. ¿Cuántos boletos de cada precio se vendieron?

Segundo día

4

Un tablero cuadrado de 4x4 está dividido en cuadraditos de 1x1. Hay un número secreto escrito en cada cuadradito de 1x1. Sólo se sabe que la suma de los cuatro números de cada fila es igual a 1, la suma de los cuatro números de cada columna es igual a 1 y la suma de los cuatro números de cada diagonal es igual a 1. ¿Es posible, con esta información, determinar la suma de los cuatro números de las esquinas y la suma de los cuatro números de los cuatro cuadraditos centrales? Si la respuesta es afirmativa, determinar la suma, si es negativa, explicar por qué.

5

¿Cuál es el menor múltiplo de 99, cuyos dígitos suman 99 y que empieza y termina con 97?

6

Un turista, de visita en Mendoza, decide hacer un paseo por la ciudad. El paseo se realiza por etapas. Cada etapa consta de 3 segmentos, cada uno de ellos de longitud 100m, y dos giros de 60^o a la derecha, como se muestra en la figura. Entre el último segmento de una etapa y el primero de la siguiente, se hace un giro a la izquierda de 60^o. ¿A qué distancia estará el turista del punto inicial después de haber recorrido 1997 etapas?

Primer día

1

En un cuadrado ABCD de área 1, E es el punto medio de DC, G es el punto medio de AD, F es el punto del lado BC tal que 3CF=FB y O es el punto de intersección entre FG y AE. Encontrar el área del triángulo EFO.

2

Ignacio escribió un número entero mayor que cero. Usando exactamente los dígitos del número de Ignacio, pero en otro orden, Sofía escribió otro número que resultó ser igual a 1/3 del número de Ignacio.

1. ¿Cuál es el menor número que pudo haber escrito Ignacio?
2. ¿Qué número pude haber escrito Ignacio, si sabemos que tiene más de 1997 dígitos y no termina en 0?

3

Hay un triángulo T dibujado en una hoja de papel blanco y se dispone de dos hojas de papel celeste. En cada hoja de papel celeste está permitido dibujar un solo triángulo, semejante a T (es decir con ángulos iguales a los de T), pero de menor tamaño, y luego recortarlo. ¿Es siempre posible obtener dos triángulos de papel celeste (tal vez distintos entre sí) y ubicarlos sobre la hoja blanca, de modo que el triángulo T quede completamente tapado? Justifique.
Aclaración: los triángulos celestes pueden superponerse o no, y pueden sobresalir del triángulo dibujado o no.

Segundo día

4

Un número "divi" es aquel que es divisible por el número de divisores positivos que tiene. Por ejemplo, el 8 es divi porque tiene 4 divisores (1, 2, 4, 8) y el cuatro divide al 8. A los números divi que son cuadrados perfectos se los llama "dividivi". Hallar todos los números dividivi menores que 1997.

5

En un grupo de personas, se sabe que cada una de ellas conoce exactamente a 101 personas del grupo.

1. ¿Es posible que haya exactamente 1997 personas en el grupo?
2. ¿Es posible que haya exactamente 1998 personas en el grupo?

Aclaración: se supone que si A conoce a B, entonces B conoce a A.

6

Agustina y Santiago juegan al siguiente juego sobre una hoja rectangular:

Agustina dice un número natural n.
Santiago marca n puntos sobre la hoja.
Agustina elige algunos de los puntos marcados por Santiago.
Santiago gana el juego si logra dibujar un rectángulo de lados paralelos a los bordes de la hoja, que contenga todos los puntos elegidos por Agustina y no contenga ninguno de los puntos restantes. De lo contrario, Agustina gana el juego.

¿Cuál es el menor número que puede decir Agustina para asegurarse de poder ganar el juego independientemente de cómo haya dibujado Santiago los puntos? Justificar.

Primer día

1

Sea n un entero, n2. Cada uno de los cuadros de un tablero nxn se colorea de blanco, amarillo o verde de acuerdo con los siguientes criterios:

1. los cuadros en las posiciones (i, i) para 1in se colorean de blanco;
2. los cuadros en las posiciones (i, j) para ij se colorean de amarillo o verde;
3. para cualesquiera i, j, k tales que los cuadros en las posiciones (i, j) u (j, k) son del mismo color, el cuadro en la posición (i, k) también es de ese mismo color.

1. Muestre que existe una fila que posee n-1 cuadros amarillos.
2. Muestre que filas distintas poseen cantidades distintas de cuadros amarillos.

Aclaración: el cuadro en la posición (i, j) es el que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna.

2

Demostrar que existe un único conjunto no vacío S de enteros con las siguientes propiedades:

1. Si 998x + 999y S para algún par de enteros x, y, entonces 998y + 999x S
2. Si 1|c|998, entonces cS.

3

Sea ABCD un tetraedro regular, P y Q puntos distintos en los planos BCD y ACD respectivamente. Demostrar que existe un triángulo cuyos lados miden AP, PQ y QB.

Segundo día

4

Calcular la suma

5

Sea S un conjunto infinito de puntos del plano con la siguiente propiedad: Si A, B, C son puntos distintos de S, entonces la distancia desde A hasta la recta BC es un número entero.
Demostrar que todos los puntos de S están en una misma recta.

6

Dada una sucesión infinita de dígitos a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ... , se intercalan infinitos signos en la sucesión y para cada par de signos consecutivos se considera el número formado por los dígitos comprendidos entre ambos signos .

1. Sea N el conjunto de los números naturales. Demostrar que cualesquiera sean los conjuntos A y B tales que
   AB = N y AB = ,
   siempre es posible intercalar los signos de tal manera que los números así obtenidos pertenezcan todos a A o pertenezcan todos a B.
2. Demostrar que cualesquiera sean los conjuntos A, B y C tales que ABC = N, donde AB = , AC = y BC = , siempre es posible intercalar los signos de tal manera que los números así obtenidos pertenezcan todos a A o pertenezcan todos a B o pertenezcan todos a C.

Aclaración: Puede haber términos de la sucesión a la izquierda del primer signo . Éstos no están comprendidos entre dos signos .

Primer día

1

Hallar todos los enteros positivos n con la siguiente propiedad: existe un polinomio P_n(x) de grado n, con coeficientes enteros, tal que P_n(0)=0 y P_n(x)=n para n valores enteros y distintos de x.

2

Considerar un prisma, no necesariamente recto, cuya base es un rombo ABCD con lado AB=5 y diagonal AC=8. Una esfera de radio r es tangente al plano ABCD en C y tangente a las aristas AA₁, BB₁ y DD₁ del prisma. Calcular r.

3

Demostrar que hay infinitos enteros positivos n tales que la cantidad de divisores positivos que tiene 2ⁿ-1 es mayor que n.

Segundo día

4

Las circunferencias c₁ y c₂ son tangentes interiormente a la circunferencia c en los puntos A y B, respectivamente, como se ve en la figura. La tangente interior común a c₁ y c₂ toca a estas circunferencias en P y Q, respectivamente. Demostrar que las rectas AP y BQ intersecan a la circunferencia c en puntos diametralmente opuestos.

5

Sean x₁, x₂, ... , x_n números no negativos n3 tales que

x₁ + x₂ + ... + x_n = 1.

Determinar el máximo valor posible de la expresión x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_n-1x_n.

6

Sea N el conjunto de los números enteros positivos.
Determinar si existe una función f: N-->N tal que f(f(n))=2n, para todo nN.

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