Nivel A

Primer día

1. ¿Cuántas veces, en 24 horas, el ángulo formado por las agujas de un reloj es recto?

¿En qué instante ocurre esto entre las 14 horas 15 minutos y las 14 horas 45 minutos?

2. Sea ABC un triángulo isosceles con AB = AC y A=36o.
Se traza la bisectriz de B que corta a AC en D y se traza la bisectriz de BDC que corta a BC en P. Se marca un punto R en la recta BC tal que B es el punto medio del segmento PR. Explique por que los segmentos RD y AP tienen la misma medida.

3. El número A esta formado por 666 digitos "3" (33333...33333) y el número B esta formado por 666 dígitos 6. ¿Cuántos dígitos tendra el número A.B y cuál será ese producto?

Segundo día

4. Se tiene una gran cantidad de piezas iguales, constituidas por cuatro cuadrados de lado 1, con la siguiente forma

a) Utilizando algunas de estas piezas ¿es posible formar un rectángulo cuyos lados midan 3 y 8, sin superponer las piezas ni dejar huecos?

b) Utilizando algunas de estas piezas, es posible formar un rectángulo cuyos lados midan 5 y 10, sin superponer las piezan ni dejar huecos?

c) En los dos casos anteriores, si la respuesta es si, indique cómo hacerlo. Si la respuesta es no, explique por que.

5. Sea un rectángulo ABCD y sea P un punto cualquiera de la diagonal AC. Se traza por P una recta paralela a BC que corta a AB en R y a DC en S; y se traza por S una paralela a AC que corta a AD en T. Calcular la razón entre las areas de las figuras TSPA y PRB.

6. Considere todos los números naturales que son de la forma ABCABC o de la forma ABCCBA, donde A, B y C son digitos y A > 0.

Encontrar el máximo común divisor de todos estos números. Justificar la respuesta.

Primer nivel

Primer día

1. Se considera un rectángulo ABCD cuyos lados miden a y b. Se construyen, externamente al rectángulo, cuatro triángulos rectángulos isósceles:

• BAQ rectángulo en A
• CBR rectángulo en B
• DCS rectángulo en C
• ADP rectángulo en D

Sea T el pie de la perpendicular a la recta PQ que pasa por R.

Demuestre que

perímetro (ABCD) = 2

2. Diremos que un número natural n es azul si la suma de los dígitos de n es igual a la suma de los dígitos de 3n + 11.

Muestre que hay infinitos números azules.

3. Muestre que hay tantas manera de repartir n monedas en p pilas, como maneras de repartir n - p monedas en pilas con p o menos que p monedas en cada una.

Segundo día

1. ¿Cuántas veces, en 24 horas, el ángulo formado por las agujas de un reloj es recto?

¿En qué instante ocurre esto entre las 14 horas 15 minutos y las 14 horas 45 minutos?

2. Sea ABC un triángulo isosceles con AB = AC y A=36o.
Se traza la bisectriz de B que corta a AC en D y se traza la bisectriz de BDC que corta a BC en P. Se marca un punto R en la recta BC tal que B es el punto medio del segmento PR. Explique por que los segmentos RD y AP tienen la misma medida.

3. El número A esta formado por 666 digitos "3" (33333...33333) y el número B esta formado por 666 dígitos 6. ¿Cuántos dígitos tendra el número A.B y cuál será ese producto?

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