XVII Olimpíada
Matemática Rioplatense
Diciembre de 2008.
| Nivel A |
1. Se tienen las 28 fichas de un juego de dominó y un tablero de cuatro casillas como el de la figura, que se cubre exactamente con dos de estas fichas.
2.
En el juego del desapilado participan dos jugadores A y B.
Inicialmente hay una pila con 2008 monedas. Juegan una vez cada uno, y cada jugador en su turno debe elegir una pila y separarla en dos pilas de manera que cada una de las dos pilas obtenidas tenga 2 o más monedas.
Pierde el jugador que en su turno, no puede realizar la jugada.
Si A es el primero en jugar, ¿cuál de los dos jugadores puede asegurarse la victoria, independientemente de cómo juegue su adversario? Mostrar cómo puede hacerlo.
3. Dado un tablero cuadrado de n filas y n columnas, se deben colorear de rojo algunas de sus casillas, de modo que cada casilla del tablero (coloreada o no) tenga exactamente dos casillas vecinas coloreadas de rojo. Demostrar que
(a) Si n es par es posible hacer tal coloración.
(b) Si n es impar es imposible colorear el tablero con las condiciones pedidas.
Observaciones:
4.
En la igualdad
cada letra representa un dígito de 0 a 9, y letras distintas representan dígitos distintos. ABCD es un número de cuatro cifras, ECE y FGF son números de tres cifras. Hallar los números ABCD,ECE, FGF.
5. Se tiene un tablero triangular de lado 6, formado por 36 triángulos equiláteros de lado 1.
Se dispone, además, de piezas de dos tipos:
(Triángulos de lado 1)
(Rombos formados por dos triángulos de lado 1)
Decidir si es posible colocar piezas sobre el tablero de modo que se cumplan las siguientes condiciones simultáneamente:
(i) Todos los vértices de cada pieza colocada coinciden con nodos del tablero.
(ii) Cada uno de los 28 nodos del tablero coincide con un vértice de exactamente una de las piezas colocadas.
6. Se tienen 99 piedras con las siguientes propiedades:
(i) El peso de cada piedra es un número entero.
(ii) La suma de los pesos de todas las piedras es 200.
(iii) Cada vez que se separan las piedras en tres grupos de 33 piedras cada uno, dos de estos grupos tienen el mismo peso total.
Determinar cuánto puede pesar cada una de las 99 piedras. Dar todas las posibilidades.
| Nivel 1 |
1. Cada número entero positivo se pinta de azul o de rojo, de modo que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:
Sea R el conjunto de todos los números rojos. Encontrar todos los posibles conjuntos R .
2. Sea ABC un triángulo obtusángulo en C tal que 
. Sea P un punto sobre el lado AB tal que 
Sea M el punto medio de AB (M está entre P y B). Probar que la perpendicular al lado AC, trazada por M, corta a PC en su punto medio.
Segundo Día
4. Hallar el menor número entero positivo N que cumple las siguientes dos condiciones:
5. Alrededor de una circunferencia están escritos 20 números enteros.
Para cada uno de ellos, se calcula la suma de los 10 números que le siguen en el sentido de las agujas del reloj. Terminado esto, cada uno de los 20 números es sustituido por su correspondiente suma.
Demostrar que después de repetir varias veces este proceso, cada uno de los 20 números alrededor de la circunferencia será par.
| Nivel 2 |
1. En cada casilla de un tablero de 101 filas y 11 columnas se escribe uno de los números 1, 2, …, 11. Si el número a está inmediatamente a la izquierda de b e inmediatamente arriba de c, entonces
. ¿Puede haber en el tablero exactamente una fila de números iguales?
2. Dos personas participan en un juego donde hay fichas negras, fichas blancas y dos cajas. El primer jugador pone varias de sus fichas en una de las caja, y otras varias en otra caja. Está permitido no poner ninguna ficha en una de las cajas y, además, no es obligatorio poner todas las fichas disponibles en las cajas. A continuación el segundo jugador elige una caja y toma todas las fichas de esa caja. De la otra caja, duplica el número de fichas de cada color y se las da al primer jugador, quedando ambas cajas vacías. Por turnos continúan jugando así.
El objetivo del primer jugador es lograr que sus fichas de uno de los colores sean exactamente el doble que sus fichas del otro color (en particular, si se queda sin fichas, gana). Si el primer jugador empieza con a fichas negras y b fichas blancas, ¿para qué valores de a y b el primer jugador puede lograr su objetivo, sin importar la estrategia del segundo jugador?
3. Sea ABC un triángulo con BC = 1 y ángulo 
agudo. Sean D la intersección de la bisectriz interior del ángulo 
y el lado BC, H el ortocentro y O el circuncentro de ABC. Encuentre el valor de AB × AC en el caso de que HOCB y AHDO sean cíclicos.
4. Diremos que un grupo de tres personas es simétrico si cada una conoce a las otras dos o bien cada una no conoce a ninguna de las otras dos. En una fiesta hay 20 personas y cada una conoce a exactamente otras 9 personas de la fiesta. Halle el número de grupos simétricos de tres personas que hay en la fiesta.
5. Encuentre todas las sucesiones
de 50 enteros positivos, con máximo común divisor igual a 1, tales que, para cada par de índices distintos i, j, el mínimo común múltiplo de 
y 
divide a la suma de los cuadrados de los restantes 48 términos.
6. Un cuadrado de 2 n x 2 n se cubre, sin salirse del cuadrado, sin huecos ni superposiciones, con rectángulos de 1 x 2 y piezas como las de la figura (que cubren exactamente 4 cuadrados de 1 x 1). Las figuras se pueden girar o dar vueltas. Demuestre que en el recubrimiento hay al menos n + 1 rectángulos de 1 x 2.
, para los cuales esto es posible. 
existen dos puntos en un segmento o en dos segmentos distintos que se encuentran a distancia d . 
. 
no se puede reemplazar por un número mayor. 
para los cuales, para todo entero 
, n no divide al mayor divisor impar de 
que contiene a A de la circunferencia circunscripta al triángulo ABC. La recta UX corta nuevamente a la circunferencia circunscripta en K, y AK corta a YZ en T. Demuestre que XT es perpendicular a YZ. 