XIV Olimpíada
Matemática Rioplatense
Diciembre de 2005.
| nivel A |
1.
En cierto juego se usan fichas de colores, que tienen valores diferentes.
Dos fichas blancas equivalen a tres fichas amarillas, una ficha amarilla
equivale a cinco fichas rojas, tres fichas rojas equivalen a ocho fichas negras
y una ficha negra vale quince puntos.
a)
¿Cuántos puntos vale cada ficha?
b)
Encuentre todas las maneras posibles de acumular 560 puntos usando, cada vez, no
más de cinco fichas de cada color.
2.
Se dispone de una cantidad suficiente de piezas de los siguientes tipos:
Tipo I Tipo
II
Cada pieza consiste de doce cuadraditos de lado uno. Se quiere construir
un rectángulo con piezas de los tipos I y II, utilizando por lo menos una pieza
de tipo II, sin superponer las piezas y sin dejar huecos entre ellas.
Decidir
si es esto posible. En caso afirmativo, mostrar un rectángulo, y en caso
negativo decir por qué no es posible.
Nota:
Las piezas se pueden girar y/o dar vuelta.
3.
Distribuir los números 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8, uno en cada una
de las casillas de un tablero de 4 x 4 de tal forma que la suma de los números
ubicados en cada una de las cuatro filas, de las cuatro columnas y de las dos
diagonales sea un número primo.
Nota:
Los primeros números primos son 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31…
4. Tenemos sobre una
mesa, una figura triangular de madera de vértices A,
B y C,
tal que el ángulo C mide 25º.
Dejando fijo el punto A, se gira el triángulo en sentido anti-horario hasta que B,
A y la posición original del vértice
C queden alineados.
Si la
nueva posición del vértice C y las
posiciones originales de B y C
quedaron alineadas, calcular la medida del ángulo B.
Nota:
La figura no está hecha a escala.
5.
Se tiene una pila de 1001 caramelos. Ariel y Bernardo, por turnos, sacan
caramelos de la pila, respetando las siguientes reglas:
Si el que comienza el juego es Ariel, determinar cuál de los dos
jugadores puede asegurarse la victoria sin importar cómo juegue el otro.
Explicar de qué manera lo logra.
6. Una
pieza está en la casilla inferior izquierda de un tablero de ajedrez. En cada
movimiento, esa pieza puede moverse hacia una casilla vecina, ya sea en dirección
horizontal, vertical o diagonal.
¿De cuántas maneras diferentes se puede llevar la pieza a la casilla inferior
derecha del tablero en exactamente siete movimientos?
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| nivel 1 |
(x + y)(y + z)(z
+ x) sea igual a:
a)
6767
b)
7676
c)
6776
En cada caso, si la respuesta es afirmativa, hallar todas las ternas ordenadas
(x,
y, z)
que satisfacen la condición.
Nota: 11...1 tiene todos sus dígitos iguales a 1, y 10...01 tiene el primer dígito y el último dígito iguales a 1 y todos los demás iguales a 0.
, ME
es paralelo a AB, y el punto M está en el interior del segmento AI, determinar la medida de los ángulos del triángulo ABC.
| nivel 2 |
1. Sea ABC un triángulo
cuyos ángulos
y
son mayores que 45º. PQRS es un cuadrado tal que P
y Q están en el interior del lado AB
en el orden APQB, R está en el
interior del lado BC, S está en el interior del lado CA.
Sean M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde P
al lado CB y desde Q al lado CA,
respectivamente. Si H es la intersección
de PM y QN,
demostrar que CH es perpendicular a AB.
2. Sean a, b,
c, d cuatro elementos
distintos del conjunto
, de modo que la suma de cada tres de ellos sea múltiplo del cuarto. Determinar
el mayor valor que puede tomar
.
3. Alrededor de una circunferencia se han escrito cierta cantidad de
ceros y la misma cantidad de unos. Se sabe que hay exactamente 99 ternas de números
consecutivos que contienen dos o tres ceros. Determinar el mínimo número de
ternas de números consecutivos que contienen dos o tres unos.
4. Sea n un entero
positivo tal que hay k divisores
positivos de n, k>1,
cuya suma es un número primo. Demostrar que el producto de esos k
divisores es menor o igual que
.
5. Sea ABC un triángulo
tal que al construir exteriormente al triángulo los cuadrados
,
y
, los puntos A, B y C quedan en el
interior de los triángulos
y
. Demostrar que los triángulos
y
tienen la misma área.
6. Se desea colorear cada entero positivo con un color utilizando la
mayor cantidad posible de colores de manera que se verifique la siguiente
condición: Si, en notación decimal, el número B
se puede obtener a partir del número A,
suprimiéndole a A dos dígitos iguales consecutivos (aa) o suprimiéndole a A
cuatro dígitos consecutivos que formen dos pares iguales y consecutivos (abab),
entonces A y B son del mismo color.
Por
ejemplo, 8, 833 y 22811 deben ser del mismo color y también 72, 676772 y
1173329898 son del mismo color.
Determinar cuál es la mayor cantidad de colores que se puede utilizar.
| nivel 3 |
1. Hallar todos los números
n que se pueden expresar en la forma
, donde k es un entero no negativo.
Nota:
ëxû
denota la parte entera de x.
2.
En el trapecio ABCD,
la suma de las bases AB y CD
es igual a la diagonal BD. Sea M el punto medio de BC
y E el simétrico de C
respecto de la recta DM. Demostrar
que
3. Hallar
el mayor entero positivo no divisible por 10 que es múltiplo de alguno de los números
que se obtienen al suprimirle dos dígitos consecutivos de su escritura decimal,
ninguno de ellos en la primera o en la última posición.
4. Sea P
un punto interior al triángulo ABC.
Demostrar que
,
donde
R es el circunradio del triángulo ABC.
5. Consideramos todas
las sucesiones finitas de términos positivos menores o iguales que 3 y suma
mayor que 100. Para una tal sucesión a
consideramos una subsucesión cuya suma S
difiera lo menos posible de 100, y definimos el defecto
de a
por ïS-100ï.
Hallar el máximo valor del defecto cuando a
recorre todas las sucesiones que se están considerando.
6. Sea
k un entero positivo. Demostrar que para todo n>k
se verifica lo siguiente:
Existen
figuras convexas F1,..., Fn
y F tales que ningún subconjunto de k
figuras elegidas entre F1,..., Fn cubre por completo a F, pero todo subconjunto de k+1
figuras elegidas entre F1,..., Fn cubre por completo a F.
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