8º Olimpíada Matemática Ñandú
Certamen Nacional - 1999

Primer nivel

1.  Aldo, Bruno y Carlos tienen, cada uno, un número distinto de figuritas.Ninguno tiene más de 100 figuritas.Si Aldo tuviera 11 veces lo que tiene más 3 figuritas, Bruno tuviera 9 veces lo que tiene más 7 figuritas y Carlos tuviera 5 veces lo que tiene más 2 figuritas, los tres tendrían la misma  cantidad de figuritas.¿Cuántas figuritas tiene cada uno?

2.  Dibujo un rectángulo ABCD de 96 cm de perímetro con AB = 2 BC. Trazo una paralela a AB y una paralela a BC que dividen al rectángulo ABCD en 4 rectángulos. Llamo I al rectángulo que tiene un vértice en A y II al rectángulo que tiene un vértice en C. Se quiere que I y II  tengan lados de medidas enteras e igual perímetro. Cambio la posición de las paralelas a AB y a BC de manera de obtener rectángulos I y II distintos pero que tengan lados de medidas enteras e igual perímetro.  ¿Cuántos rectángulos I y II pueden obtenerse? ¿Qué medidas tienen sus lados? 
Da todas las posibilidades.

3.  En un tablero de 4 x 4 se llaman casillas vecinas las que tienen un lado común. En este tablero de 4 x 4 Juan coloca una ficha en una casilla y escribe en esa casilla el número 1. Una jugada consiste en mover la ficha hasta otra casilla que esté en su misma fila o en su misma columna pero que no  sea vecina de la casilla en que está.  Cuando Juan mueve la ficha de una casilla a otra escribe, en la casilla de llegada, el número siguiente al que escribió en la casilla que acaba de dejar libre.  Decidir si, jugando de esta manera es posible que Juan escriba todos los números del 1 al 16, uno en cada casilla del tablero.   Si es posible, escribirlos. Si no es posible, indicar por qué.

 Segundo nivel

1.  Un número de 4  cifras es  “equilibrado” si uno de sus dígitos es el promedio de los otros tres.  Por ejemplo:  1654 es “equilibrado” porque 4 es el promedio de 1, 5 y 6. 2222 es “equilibrado” porque 2 es el promedio de 2, 2 y 2. ¿Cuántos números “equilibrados” mayores que 1000 y menores que 1999 hay? ¿Cuáles son?

2. Un coleccionista tiene monedas de oro, plata y cobre. Algunas son americanas y el resto españolas. Tiene en total 588 monedas.De las de cobre,  son españolas. La cantidad de monedas de oro y plata juntas es  de la cantidad de monedas de cobre. Entre monedas de cobre y monedas americanas tiene, en total, 360. Tiene tantas monedas españolas como monedas de oro y cobre juntas.¿Cuántas monedas de oro tiene el coleccionista?

 3.  En un rectángulo ABCD de 196 cm2 de  área, con AB = 4 BC, se traza una paralela a AB y dos paralelas a BC que lo dividen en 6 rectángulos de lados de medidas enteras. Se pintan de rojo 3 de estos 6 rectángulos: el que tiene un vértice en A, el que tiene un vértice en B y el que está sobre el lado CD pero no tiene ningún vértice común con el rectángulo ABCD. Se quiere que el área de la parte del rectángulo ABCD que quedó pintada de rojo sea igual al área de la parte no pintada. Si se cambian las distancias entre las paralelas y los lados conservando las condiciones: lados de medidas enteras y área de la parte pintada igual al área de la parte no pintada, ¿de cuántas maneras distintas puede partirse el rectángulo ABCD en 6 rectángulos? ¿Qué medidas tienen los lados de los rectángulos pintados de rojo?  Da todas las posibilidades.

Tercer  nivel

1. Sobre una circunferencia de centro O se marcan los puntos A, B, C y D en ese orden,  de modo que: AÔB = 90º ; AC es un diámetro y 
CÔD = 60º.  La parte del sector  circular de ángulo central AÔB limitada por la cuerda AB y el arco AB tiene 41,04 cm2 de área. ¿Cuál es el área del cuadrilátero ABCD?        

  2.  Pedro llega de la fiesta entre la una y media y las dos. En el reloj de la sala, el ángulo que le falta recorrer al minutero (la aguja que marca los minutos)  para llegar al 12 es una vez y media el ángulo que la aguja horaria (la que marca las horas) forma con la dirección de las 12.  ¿Qué hora marca el reloj de la sala cuando llega Pedro? Explica por qué.

3.  Se repartieron 10 barras de chocolate entre algunos chicos sin que sobrara chocolate. Para darle a cada chico la misma cantidad de chocolate no fue necesario cortar ninguna barra en más de dos pedazos. ¿Cuántos chicos había  y cómo se repartió el chocolate? Da todas las posibilidades.

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