14º Olimpíada Matemática Ñandú
Certamen Nacional - 2005

Primer nivel

1.  En la figura algunos círculos están conectados. Inés tiene 3 lápices de colores: uno azul, uno verde y uno rojo. 
Quiere colorear cada círculo de la figura con un color, con la condición de que dos círculos que están conectados no tengan el mismo color. 
¿Cuántos diseños distintos puede obtener Inés?

2.  Un turista quiere viajar 20 días al Noroeste Argentino, visitando sólo las ciudades de Salta y Jujuy. 
El viaje lo hará en avión. 
Las tarifas de los hoteles son diarias. 
Si permanece en Salta 5 ó más días, en el hotel le rebajan un quinto de la tarifa.  
Entre pasajes y hotel gastaría: 
                                            $ 2100 si se queda en Salta 4 días; 
                                            $ 2035 si se queda en Jujuy 15 días; 
                                            $ 2070 si se queda igual cantidad de días en cada ciudad.  
¿Cuál es la tarifa diaria del hotel de Jujuy? 
¿Cuál es la tarifa diaria del hotel de Salta? 
¿Cuánto paga por el pasaje de avión?

3. En un triángulo equilátero se divide cada lado en partes iguales, se trazan las paralelas a los lados y los triangulitos que resultan se pintan como se ve en las figuras:

Una hormiga recorre el borde del triángulo grande y los bordes de cada uno de los  triangulitos pintados,  sin pasar dos veces por ningún segmento.     Si la longitud del camino que recorre la hormiga es igual a 6 veces el perímetro del triángulo grande, ¿en cuántas partes se dividió el lado del triángulo grande?  
¿Cuántos triangulitos quedaron pintados?

 Segundo nivel

1. Hay un total de 240 recipientes de igual capacidad, de tres colores distintos. Si los rojos están llenos, los azules están llenos hasta la mitad, y los verdes están llenos hasta la tercera parte, en total hay 12600 litros de agua almacenados. Si los rojos y los azules están llenos y los verdes están llenos hasta la tercera parte, habrá 15300 litros almacenados. Si los rojos y los verdes están llenos y los azules están llenos hasta la mitad, habrá 18900 litros almacenados. 
¿Cuántos litros contiene un recipiente lleno?  
¿Cuántos recipientes de cada color hay ?

2.  La circunferencia de la figura tiene centro O.  El arco  que no contiene al punto M  tiene 21,98 cm de longitud. El triángulo AOB es rectángulo e isósceles.  El punto M de la circunferencia es el punto medio de ,    ,    .
¿Cuál es el área de la figura sombreada?

 3. Daniel y Juan  juegan en un tablero de casillas cuadradas como el de la figura. En A hay una ficha que deben llevar hasta B. Los movimientos permitidos son:  
                    - un tramo horizontal hacia la derecha 
                    - un tramo vertical hacia abajo
En cada jugada se pueden hacer 1 ó 2 movimientos.  La primera jugada la hace Daniel. Gana el participante que logra colocar la ficha en B. ¿Cuál de los participantes puede tener una estrategia para ganar siempre? ¿Cómo lo hace? 
Observación: Un tramo es un lado de una de las casilla

 
Tercer  nivel

1. En el cubo de la figura CM = 2MD. El área de la figura sombreada  es  60,34 cm2 .
¿Cuál es el área del cubo?

 2.  De un libro se imprimieron en total 3000 ejemplares. Los ejemplares eran de tres clases: de lujo, clásicos y rústicos. Los de lujo cuestan un 20 %  más que los clásicos y los rústicos cuestan un 20 %  menos que los clásicos. Si se compra un ejemplar de cada clase se deben pagar $ 120 en total.  El 40 % de los ejemplares impresos se vendió durante el primer mes. Ese mes ingresaron $ 45600 por las ventas del libro. El resto de los ejemplares se vendieron el segundo mes, con descuentos: del 25 % para los de lujo y los clásicos , y del 50 % para los rústicos. El segundo mes ingresaron $ 39960 por las ventas del libro. El segundo mes se vendieron tantos ejemplares de lujo como el primer mes y tantos ejemplares clásicos como el primer mes. ¿Cuántos ejemplares de cada clase se vendieron el segundo mes? 

3. Cada uno de los 7 primeros números primos se escribe en una tarjeta. Las 7 tarjetas  se colocan en una caja  Ariel saca dos tarjetas de la caja, anota en el pizarrón el producto de los números escritos en  las tarjetas y vuelve a poner las dos tarjetas en la caja. Saca otra vez dos tarjetas y anota en el pizarrón el producto de los números escritos en estas dos tarjetas.  A continuación Ariel suma los dos productos que anotó en el pizarrón y observa que la suma es múltiplo de 3. ¿Cuáles son los dos productos que pudo haber sumado Ariel?  Da todas las posibilidades. 
Observación: 1 no es un número primo. Un número primo tiene sólo dos divisores, el 1 y él mismo.

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