29º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

17 de mayo de 2012

1. Llamamos fecha a la escritura de un día que consigna día / mes / año, usando uno o dos dígitos para el día, el mes o el año (no se ponen ceros a la izquierda). Calcular, a lo largo de un siglo, cuántas fechas se escriben usando un solo dígito repetido varias veces.

2. Hallar los números de tres dígitos abc, con a0, que son iguales a la suma de los tres números de dos dígitos cada uno ab, bc y ca, o sea,

                                                                   abc = ab + bc + ca.

3. Sea ABC un triángulo isósceles, con AC = BC. Se construye el triángulo equilátero BCD, exterior al triángulo ABC. Si , calcular los ángulos del cuadrilátero ABDC.

SEGUNDO NIVEL

1. Una mujer menor de 100 años y uno de sus nietos cumplen años el mismo día. Para seis años consecutivos, la edad de la mujer era múltiplo de la edad del nieto. Determinar las edades de la mujer y su nieto en esos seis años.

2. Sea x el menor entero positivo que satisface simultáneamente que 2x es el cuadrado de un entero, 3x es el cubo de un entero y 5x es la potencia quinta de un entero. Dar la factorización en primos de x.

3. El rectángulo ABCD tiene AB = CD = 6 y AD = BC = 18. Con centro en C se rota el rectángulo 90° en sentido horario y se obtiene un nuevo rectángulo: A'B'CD'. Con centro en D' (el rotado de D) se rota este rectángulo 90° en sentido horario y se obtiene el rectángulo A''B''C'D'. Calcular la distancia entre A y A''.
ACLARACIÓN: A', B' y D' son los puntos obtenidos de A, B y D por la primera rotación y A'', B'' y C' son los puntos obtenidos de A', B' y C por la segunda rotación.

1. Se tienen tres cubos rojos iguales entre sí y tres cubos verdes, iguales entre sí y más pequeños que los cubos rojos. El volumen total de los seis cubos es igual a 840 cm. Si se hace una torre con los seis cubos la altura es de 30 cm. Hallar las dimensiones de los cubos sabiendo que las longitudes de sus aristas son todos números enteros.

2. Sea S = la suma de todas las potencias de 5, desde 5 hasta . Calcular el resto de dividir S por 8.

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