27º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

3 de junio de 2010

 

PRIMER NIVEL

1. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 formar un número natural de seis cifras distintas abcdef tal que el número de dos cifras ab sea múltiplo de 2, el número de tres cifras abc sea múltiplo de 3,  el número de cuatro cifras abcd sea múltiplo de 4, el número de cinco cifras abcde sea múltiplo de 5, y el número de seis cifras abcdef sea múltiplo de 6. 

2. Se tienen 5 objetos de distintos pesos. Se han pesado en una balanza todas las 10 combinaciones de dos de estos objetos. Se sabe que las tres combinaciones más livianas pesan 39, 43 y 44 kilos, y que las dos combinaciones más pesadas pesan 56 y 59 kilos. Calcular los pesos de cada uno de los cinco objetos.

3. Se considera un cuadrado ABCD de lados AB, BC, CD y DA, y un punto P exterior al cuadrado tal que el triángulo ABP es isósceles con  AP = AB y  Calcular la medida del ángulo

 

SEGUNDO NIVEL

1. En un rectángulo de 1 x 101, dividido en casillas cuadradas de 1 x 1, Alex escribió un número entero en cada casilla, de manera tal que la suma de los tres números escritos en tres casillas consecutivas era siempre igual a 9. Luego borró todos los números escritos, excepto el de la tercera casilla y el de la décima casilla, contadas de izquierda a derecha: un 3 y un 10 respectivamente. Hallar el número que había escrito Alex en la última casilla de la derecha (la casilla número 101).

2. Nico hizo la lista de todos los números de 7 dígitos distintos que se forman con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Los números de la lista de Nico están ordenados de menor a mayor. Calcular qué posición de la lista ocupa el número 3654721.

3. Sean A, B y C tres puntos en una recta r, con B entre A y C, y sea D un punto exterior a r. Se traza la recta paralela a r por el punto D que denominamos s. Se traza la bisectriz del ángulo  que corta a la recta s en P y se traza la bisectriz del ángulo  que corta a la recta s en Q. Si BP = 12, BQ = 5, calcular BD.

 

TERCER NIVEL

1. De una progresión aritmética se sabe que el primer término es 13 y que la suma de los 12 primeros términos es igual a 4 veces la suma de los 5 primeros términos. Hallar la diferencia de esta progresión.
ACLARACIÓN: Una progresión aritmética es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene del anterior sumando un cierto número fijo d, llamado diferencia o razón de la progresión.

2. Un kiosco vende chocolates a 4 pesos cada uno, caramelos a 2 por 1 peso y bombones a 1 peso cada uno. Marta gastó 88 pesos en 44 golosinas que repartió en partes iguales (de cada variedad) entre sus 4 hijos, sin que le sobre nada. ¿Cuántas golosinas y de qué clases le correspondieron a cada uno?

3. Sea ABC un triángulo equilátero y sea M el punto medio del lado BC. Sean K en AM y L en AC tales que KL es perpendicular a AC, KM = 8 y KL = 5. Calcular el área del cuadrilátero KLCM.

 

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