25° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2008

Primer Nivel

Problema 1
Determinar si es posible distribuir 60 ceros y 61 unos en las casillas de un tablero de 11 x 11, un número en cada casilla, de modo que la suma de los números de cada fila sea impar, la suma de los números de cada columna sea impar y la suma de los números de cada una de las dos diagonales sea impar.
¿Y si el tablero es de 12 x 12 y se quieren distribuir 72 ceros y 72 unos?

Problema 2
Juan tiene 11 pesas todas de distintos pesos y todas de pesos enteros. La suma de los pesos de las 11 pesas es 1810. Con estas pesas se pueden obtener todos los pesos enteros desde 1 hasta 1810. Determinar los posibles valores de la sexta pesa, contando de menor a mayor.

Problema 3
Sea ABC un triángulo y P un punto de la bisectriz del ángulo que está en el interior del triángulo ABC . Se sabe que PC = BC y . Hallar la medida del ángulo .

Problema 4
Rocío debe escribir en una línea 100 números enteros distintos elegidos desde 1 hasta 199 de manera que cada número, a partir del segundo y hasta el anteúltimo, sea mayor que por lo menos uno de sus dos vecinos. A continuación calcula la suma de los números de las posiciones pares que denotamos P y la suma de los números de las posiciones impares que denotamos I . Determinar el mayor valor posible de P – I que puede obtener Rocío.

Problema 5
Determinar si es posible dividir un cuadrado de lado 11 en las siguientes 5 partes: un cuadrado de lado 1 y cuatro rectángulos cuyas dimensiones son 8 números enteros distintos y mayores que 1. ¿Y si el cuadrado que se quiere dividir es de lado 10?

Problema 6
Se tiene un tablero de 2008 x 2008 dividido en casillas de 1 x 1. Se dispone de piezas de los siguientes dos tipos:

,

Hay exactamente 1006 piezas del primer tipo y una cantidad inagotable de piezas del segundo tipo. Mostrar que con estas piezas es posible cubrir completamente el tablero, sin huecos ni superposiciones y sin sobresalirse del tablero.
ACLARACIÓN: Cada pieza del primer tipo cubre exactamente dos casillas del tablero y cada pieza del segundo tipo cubre exactamente 4 casillas del tablero.
Las piezas se pueden girar y/o dar vuelta.

Segundo Nivel

Problema 1
Germán escribió números en las casillas de un tablero de 11 x 11 de modo que en cada fila la suma de los 11 números es igual a 3, en cada columna la suma de los 11 números es igual a 3, y en cada cuadrado de 3 x 3 la suma de los 9 números es igual a 1.
Dar un ejemplo de un tablero como el de Germán.
ACLARACIÓN: Los números que escribió Germán pueden no ser enteros, y puede haber números repetidos.

Problema 2
Fede elige 2008 enteros positivos tales que la multiplicación de esos 2008 números termine en 75, y los escribe en el pizarrón. A continuación Iván, sin ver los números de Fede, elige un entero positivo k menor que 2008. Si en la lista de Fede hay k números tales que la multiplicación de esos k números termina en 75, gana Iván. Si no, gana Fede.
Determinar todos los valores de k con los que Iván se asegura la victoria, no importa lo bien que juegue Fede. ACLARACIÓN: Entre los números que eligió Fede puede haber repetidos.

Problema 3
Sea ABC un triángulo tal que . Si BC = 5 y CA = 3, calcular la medida del lado AB .

Problema 4
En el pizarrón está indicada una multiplicación de 26 números enteros positivos, o sea, 26 enteros separados por signos x. Lucía cambia dos de los signos x por signos + y calcula el resultado de la nueva expresión. Repite este procedimiento para cada posible elección de dos signos x en la expresión inicial. (La expresión que calcula Lucía siempre tiene dos signos + y 23 signos x .) De todos los números que obtiene Lucía, exactamente 115 son impares. Si se sabe que en la expresión del pizarrón los números impares figuran exclusivamente en bloques de 2 y bloques de 3 (o sea, no hay ningún impar aislado ni hay nunca cuatro impares seguidos), calcular cuántos de los 26 números del pizarrón pueden ser impares.

Problema 5
Sea P el número que se obtiene al multiplicar los factoriales de los primeros 2008 enteros positivos:

.

Determinar si es posible cancelar uno de estos factoriales de modo que la multiplicación de los 2007 factoriales que quedan sea un cuadrado perfecto.
ACLARACIÓN: El factorial de un número entero positivo es la multiplicación de todos los enteros desde 1 hasta dicho número. Por ejemplo, ; .
Un número entero se llama cuadrado perfecto si es el cuadrado de un número entero. Por ejemplo, 16 y 10000 son cuadrados perfectos, porque y .

Problema 6

Se considera un tablero de a x b , con a y b enteros mayores o iguales que 2, y piezas con la forma que se ve en la figura, cada una de las cuales cubre exactamente tres casillas del tablero. Al cubrir el tablero, las piezas se pueden superponer, pero con la condición de que todas las casillas del tablero estén cubiertas por la misma cantidad de piezas cada una. Las piezas no pueden sobresalir del tablero.
Determinar todos los valores de a y b para los que un tablero de a x b se puede cubrir en estas condiciones.
ACLARACIÓN: Las piezas se pueden girar.

Problema 1
Beto eligió 101 enteros positivos y los escribió en una línea. Demostrar que se pueden colocar paréntesis, signos de suma y signos de multiplicación entre los números de la lista de Beto de modo que la expresión que resulte tenga sentido, y al efectuar las operaciones indicadas se obtenga un número divisible por 16!. Está prohibido cambiar el orden de los números de la lista.
ACLARACIÓN: La notación 16! indica la multiplicación de los enteros desde 1 hasta 16: .

Problema 2
En cada casilla de un tablero de 60 x 60 está escrito un número de valor absoluto menor o igual que 1. La suma de todos los números del tablero es igual a 600. Demostrar que el tablero contiene un cuadrado de 12 x 12 en el que la suma de los 144 números de sus casillas tiene valor absoluto menor o igual que 24.

Problema 3
En una circunferencia de centro O sean A y B puntos de la circunferencia tales que . El punto C pertenece al menor arco y el punto D pertenece a la cuerda AB . Se sabe que AD = 2, BD = 1 y . Calcular el área del triángulo ABC .

Problema 4
Hallar todos los números reales x tales que

.

ACLARACIÓN: Los corchetes denotan la parte entera del número que encierran.
Por ejemplo, ; ; .

Problema 5
Hallar todas las potencias perfectas que terminan con los dígitos 2, 0, 0, 8, en ese orden.
ACLARACIÓN: Se llama potencia perfecta a un número de la forma a k donde a y k son enteros positivos y . Por ejemplo, ; ; .

Problema 6
Se considera un tablero de a x b , con a y b enteros mayores o iguales que 2. Inicialmente sus casillas están coloreadas de blanco y de negro como un tablero de ajedrez. La operación permitida consiste en elegir dos casillas con un lado común y recolorearlas de la siguiente manera: una casilla blanca pasa a negra; una casilla negra pasa a verde; una casilla verde pasa a blanca.
Determinar para qué valores de a y b es posible, mediante una sucesión de operaciones permitidas, lograr que todas las casillas que inicialmente eran blancas finalicen negras y todas las casillas que inicialmente eran negras finalicen blancas. ACLARACIÓN: Inicialmente no hay casillas verdes, pero estas aparecen luego de la primera operación.

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