24º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

20 de septiembre de 2007

PRIMER NIVEL

1. Sobre una mesa hay cuatro cajas, numeradas de 1 a 4, y cada una de ellas contiene bolitas rojas y bolitas azules.

Se sabe que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 es mayor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3, y que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 2 es mayor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 4.

Se pasan todas las bolitas de la caja 2 a la caja 1 y todas las bolitas de la caja 4 a la caja 3 (las cajas 2 y 4 quedan vacías).

Determinar si, en la nueva situación, es posible que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 sea menor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3.

ACLARACIÓN: Si una caja tiene r bolitas rojas y a bolitas azules, la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en esa caja es el número .

 

2. Franco hizo la lista de todos los enteros positivos N de cinco dígitos que son múltiplos de 5 y que tienen, simultáneamente las siguientes dos propiedades:

· Todos los dígitos de N son impares;

· también tiene cinco dígitos, y todos los dígitos de son impares.

Determinar cuántos números tiene la lista de Franco.

 

3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC y . Sea D el punto medio de la base BC . Se consideran un punto P en el segmento AD y un punto Q en el lado AB tales que PB = PQ .

Calcular la medida del ángulo .

 

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