24° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2007

Primer Nivel

Problema 1

Se tiene una hoja cuadrada de 9x9 cuadriculada en cuadritos de 1x1 . Se corta la hoja con el objetivo de dividirla en cuadritos de 1x1. Cada corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula.
Después de efectuar cada corte, está permitido reacomodar convenientemente los pedazos en una pila de modo que en el corte siguiente se divida a varios pedazos simultáneamente (en cada pedazo el corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula).
Está prohibido plegar el papel.
¿Cuál es la menor cantidad de cortes que hacen falta para lograr el objetivo?
(Para el número hallado, indicar cuales son los cortes y explicar por qué es imposible lograr el objetivo con menos cortes.)

Problema 2

Sobre la mesa hay 21 cartas, una con cada uno de los números enteros desde 1 hasta 21 inclusive. Xavier selecciona 4 cartas y se las muestra a Ana. Luego Ana le quita a Xavier una carta (la que ella quiera). Si la suma de los números de las 3 cartas con las que se quedó Xavier es múltiplo de 3, gana Ana . Si no, gana Xavier.
Determinar de cuántas maneras puede Xavier elegir las 4 cartas para estar seguro de ganar, no importa lo bien que juegue Ana.
(Dos elecciones de las mismas 4 cartas pero en distinto orden se consideran la misma elección.)

Problema 3

Sea ABC un triángulo tal que . Se sabe que hay un punto P de la bisectriz del ángulo que satisface que BP= BC y . Determinar las medidas de los ángulos y

Problema 4

En un concurso cada participante dibujó un tablero cuadriculado de 99x100 y escribió un “1” o un “– 1” en cada casilla, a su elección. A continuación, cada participante escribió al costado de cada fila el resultado de multiplicar los 100 números de esa fila y debajo de cada columna, el resultado de multiplicar los 99 números de esa columna. Por último, sumó los 99 resultados de las filas más los 100 resultados de las columnas y obtuvo su número final.
Si en este concurso todos los participantes obtuvieron números finales distintos, determinar cuál es la máxima cantidad de participantes que pudo haber y para la cantidad máxima hallada, indicar los números finales de todos los participantes.

Problema 5

Se tiene una bolsa con 99 bolitas de diferentes colores (cada bolita tiene un solo color y se desconoce la cantidad de colores). Si se sacan de la bolsa 21 bolitas al azar, siempre hay cuatro o más de un mismo color. Decidir si es necesariamente cierto que la bolsa contiene 18 o más bolitas de un mismo color. ¿Y 17 o más bolitas de un mismo color?

Problema 6

Axel y Franco juegan al siguiente juego. Inicialmente Axel piensa un número natural N. A partir de ahí, en cada jugada, Franco elige 4 números distintos a , b , c , d del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y se los dice a Axel. A continuación Axel anuncia una de las sumas N + a , N + b , N + c , N + d, a su elección. (Por ejemplo, si Axel pensó el 2007 y en una jugada Franco elige 1, 3, 4, 6, Axel debe anunciar uno de los números 2008, 2010, 2011, 2013, a su elección.)
El objetivo de Franco es conocer con certeza el número N. Determinar el número mínimo de jugadas que le permiten a Franco lograr siempre su objetivo.

Segundo Nivel

Problema 1

En cada casilla de un tablero de 1x2007 casillas consecutivas hay que escribir un número entero de 1 a 2007, sin repetir números. A continuación se consideran los siguientes 2007 números: el número de la primera casilla de la izquierda; la suma de los números de las dos primeras casillas (desde la izquierda); la suma de los números de las tres primeras casillas; . . . ; la suma de los números de las 2006 primeras casillas y la suma de los números de todas las casillas. Por cada uno de estos 2007 números que tenga resto 5 en la división por 6 se gana 1 peso. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que se puede ganar?

Problema 2

En un país hay 100 distritos electorales, todos con la misma cantidad de votantes. Cada distrito elige un diputado para el parlamento nacional entre 3 candidatos que representan a los 3 partidos políticos A, B y C . A nivel nacional, los partidos A, B y C tienen la adhesión de exactamente 60%, 30% y 10% de los votantes, pero la distribución de los adherentes por distrito puede ser arbitraria.
Las elecciones son en dos vueltas. Si en un distrito en la primera vuelta uno de los tres candidatos obtiene más de la mitad de los votos, gana la elección y no hay segunda vuelta. Si no, los dos candidatos con más votos compiten en la segunda vuelta, donde de nuevo gana el que obtiene más de la mitad de los votos.
Cada votante vota por el candidato de su partido favorito. Si en la segunda vuelta no está ese candidato, los votantes de A, B y C votan por los candidatos de C, C y B, respectivamente.
¿Cuál es el mínimo número de distritos que gana el partido A? ¿Cuál es el máximo número de distritos que podría ganar C?
ACLARACIÓN: Suponer que en ningún distrito hay un candidato que obtenga exactamente el 50% de los votos, y tampoco candidatos con la misma cantidad de votos.

Problema 3

Sea ABC un triángulo con tal que la bisectriz de , la mediana desde B y la altura desde C concurren en un punto . Calcular la medida del ángulo .

Problema 4

En el plano hay dibujadas n rectas distintas. Cada una de ellas corta a exactamente otras 2007 de las rectas. Hallar todos los valores de n para los cuales esto es posible.

Problema 5

Se tiene un tablero rectangular de 9x2007 dividido en cuadritos de 1x1. Inicialmente todos los cuadritos son blancos. En cada paso se colorean de negro 4 cuadritos blancos que estén en la intersección de dos filas y dos columnas del tablero. Cuando ya no queden 4 cuadritos blancos en la intersección de dos filas y dos columnas del tablero el proceso se detiene ¿Cuántos cuadritos como mínimo quedarán sin colorear? ¿Y si el tablero fuese de 99x2007?

Problema 6

De un cuadrado de papel de lado 1 hay que recortar dos triángulos equiláteros iguales. Hallar el máximo valor posible del lado de los triángulos.

Problema 1

Hallar todos los números primos p, q tales que

p 2 + q = 37 q 2 + p .

ACLARACIÓN: p > 1; q > 1.

Problema 2

Las piezas de un juego son cuadrados de lado 1 con sus lados coloreados con 4 colores: azul, rojo, amarillo y verde, de modo que cada pieza tiene un lado de cada color. Hay piezas con cada una de las posibles distribuciones de los colores, y el juego tiene un millón de piezas de cada clase. Con las piezas se arman rompecabezas rectangulares, sin huecos ni superposiciones, de modo que dos piezas que comparten un lado tienen ese lado del mismo color.
Determinar si con este procedimiento se puede armar un rectángulo de 99x2007 con un lado de cada color. ¿Y de 100x2008? ¿Y de 99x2008?

Problema 3

Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD, AD, tal que AB > AD y . Sea r la recta simétrica de AD con respecto a AC y sea s la recta simétrica de BC con respecto a BD. Si r y s se cortan en P, calcular el valor de .

Problema 4

Se dan 10 números reales a 1 , a 2 , . . . , a 10 , y se forman las 45 sumas de dos de estos números a i + a j , 1 £ i < j £ 10. Se sabe que no todas estas sumas son números enteros. Determinar el mínimo valor de k tal que es posible que entre las 45 sumas haya k que no son números enteros y 45 – k que son números enteros.

Problema 5

Diremos que un entero positivo es afortunado si la suma de sus dígitos es divisible por 31. ¿Cuál es la máxima diferencia posible entre dos números afortunados consecutivos?

Problema 6

Julián elige 2007 puntos del plano entre los que no haya 3 alineados, y traza con rojo todos los segmentos que unen dos de esos puntos . A continuación, Roberto traza varias rectas . Su objetivo es que cada segmento rojo sea cortado en un punto interior por (al menos) una de las rectas . Determinar el menor tal que, no importa como elija Julián los 2007 puntos, con rectas convenientemente elegidas Roberto logre con certeza su objetivo .

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