23º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal

10 de agosto de 2006

1. En el pizarrón se escriben los números enteros positivos impares desde 1 hasta 47, uno a continuación del otro, sin espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de 43 dígitos (el primero es 1 y el último es 7):

135791113...4547.

Hay que borrar 33 dígitos de modo que los 10 dígitos que queden escritos, leídos de izquierda a derecha, formen el mayor número de 10 dígitos posible.
Determinar cuál es el número de 10 dígitos que quedará escrito en el pizarrón.

2.  Un auto viaja de A a B a velocidad constante. A las 8 de la mañana ha recorrido exactamente la tercera parte del camino entre A y B, y a las 12 del mediodía lleva recorrido, en total, las  partes del camino entre A y B. Determinar a qué hora ha recorrido exactamente la mitad del camino entre A y B.

3. Se tiene un triángulo ABC y un punto interior P tal que ,  y .
Calcular los ángulos del triángulo ABC.

SEGUNDO NIVEL

1.  Hallar los seis números que se deben escribir en cada una de las seis casillas vacías para obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.

2. Ana, Beto, Ceci, Dany y Eva tienen entre los cinco 80 monedas de un peso. La cantidad de monedas que tienen en conjunto Beto y Dany es igual a la quinta parte de las que tienen, en conjunto, Ana y Ceci. La cantidad de monedas que tienen en conjunto Ceci y Dany es igual a 6 veces las que tienen, en conjunto, Ana y Beto. Determinar cuántas monedas tiene cada uno si se sabe que Beto tiene 2 monedas más que Ana.

3.  Sean P y Q puntos del plano tales que . La circunferencia de centro Q y radio 25 corta al segmento PQ en A.
La recta perpendicular a PQ trazada por A corta a la circunferencia de centro P y radio 41 en los puntos B y C. 
Calcular la medida del segmento BC.

TERCER NIVEL

1. Nacho escribió una progresión aritmética de primer término 101 y diferencia 2: 101, 103, 105, ... 
Nico escribió una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 10: 5, 15, 25, ...
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la misma suma. Determinar cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.

2. Si a, b son números tales que

calcular el producto ab.

3. Sea ABC un triángulo rectángulo con ,  y . Sean D y E puntos del lado BC tales que  y . Calcular la medida del ángulo

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