23º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

1. En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a 999, ordenados de izquierda a derecha en forma creciente. Se borran números mediante el siguiente procedimiento: En la primera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista (se borran el 2, el 4, el 6, etc.). En la segunda etapa, comenzando de la derecha, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el principio de la lista. En la tercera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista. Y así siguiendo, en cada etapa se invierte el orden de la etapa anterior, y comenzando desde el extremo que corresponda se deja un número y se borra el siguiente una y otra vez hasta recorrer todos los números aun no borrados. El proceso se detiene cuando queda un solo número en el pizarrón. Determinar cuál es ese número.

 2. En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad. Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas tiene 176 puntos. Determinar cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada prueba.
ACLARACIÓN: La cantidad de puntos que recibe cada equipo en cada prueba es un entero positivo.

 3. Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35 cm de lado. Comienzan a moverse simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos. Una hormiga va a 1 cm/seg y la otra a 2 cm/seg. Calcular la distancia (en línea recta) que separa a las hormigas cuando han transcurrido exactamente 817 segundos desde que salieron.

SEGUNDO NIVEL

1.  En un colegio, el 81% de los alumnos estudia inglés y el 80% de los alumnos estudia computación. La proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que estudian computación es igual al doble de la proporción de los alumnos que estudian inglés entre los que no estudian computación. Hallar el porcentaje de alumnos de la escuela que no estudia ni inglés ni computación.

2.  La profesora escribe en el pizarrón una fila de dígitos 8 y le pide a un alumno que intercale algunos signos + para que la suma que quede indicada tenga resultado 1000. Dar todas las posibilidades para la cantidad de dígitos 8 que debe escribir la profesora para que la tarea del alumno tenga solución. 

3.  En el triángulo ABC, sea P un punto interior. La recta AP corta al lado BC en D, la recta BP corta al lado AC en E y la recta CP corta al lado AB en F. Se sabe que área (APF) =168; área(BPD)=80; área (CPD) = 60 y área (CPE) = 70.
Calcular el área del triángulo APE y el área del triángulo BPF.

TERCER NIVEL

 1.  Hallar todos los pares de números enteros M y N que verifican simultáneamente las siguientes condiciones:

· M y N son números de cuatro dígitos.

· M y N son cuadrados perfectos.

2.  Hallar el máximo número natural de 100 dígitos tal que al multiplicarlo por 7 se obtiene un número de 100 dígitos.

 3. Sea AB una cuerda de longitud 6 de una circunferencia de centro O y radio 5. El cuadrado PQRS está inscripto en el sector OAB de modo tal que P está en el radio OA, Q está en el radio OB y R y S pertenecen al arco de circunferencia . Hallar el área del cuadrado PQRS.

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