XXIII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional

13 al 17 de noviembre de 2006

 

Primer Nivel

Problema 1

Ale debe escribir un número de 20 dígitos que tenga por lo menos 9 dígitos distintos. A continuación Fede anota todos los números de dos dígitos que pueden quedar escritos al tacharle 18 dígitos al número de Ale (algunos pueden comenzar con 0 si Ale utilizó el 0). El objetivo de Ale es que la lista de Fede contenga la menor cantidad posible de números primos (si un primo figura dos veces en la lista de Fede, se cuenta como dos primos). Dar un número que le permita a Ale lograr su objetivo, identificar todos los primos que tendrá la lista de Fede y justificar porqué es imposible lograr un número con el que la lista de Fede tenga menos primos.
ACLARACIÓN: El número 1 no es primo.

Problema 2

En las casillas de un tablero de 8 x 8  hay que colocar fichas de modo que cada dos casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al menos una que tenga una ficha y cada 7 casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al menos dos casillas consecutivas que tengan una ficha cada una. Determinar el número mínimo de fichas que hay que colocar en el tablero.

Problema 3

Hallar 9 números enteros positivos que sumen 2006 y tales que el mínimo común múltiplo de esos 9 números sea lo menor posible (entre los 9 números puede haber repetidos).

Problema 4

El número A es un cuadrado perfecto no divisible por 10, con más de 6 dígitos, que tiene la siguiente propiedad: si se reemplazan los últimos 6 dígitos de A por ceros, se obtiene otro cuadrado perfecto. Hallar el mayor valor posible de A.
ACLARACIÓN: Se denominan cuadrados perfectos a los enteros que se obtienen al elevar un entero al cuadrado.

Problema 5

Sea ABC un triángulo isósceles con  y . Se considera P en BC tal que  y Q en AB tal que . Calcular la medida del ángulo .

Problema 6

En cierta ciudad el sistema de autobuses tiene 65 líneas que pasan, entre todas, por 999 paradas. Este sistema permite viajar en autobús de cada parada a cada una de las otras, tal vez efectuando trasbordos. Para cada dos líneas A y B hay al menos una parada de A que no está en B y al menos una parada de B que no está en A. Por razones económicas, el intendente quiere suprimir la mayor cantidad posible de líneas, preservando todas las paradas y de modo que siga siendo posible viajar en autobús de cada parada a cada una de las otras. El ministro de transporte le informó que se pueden eliminar 36 líneas, pero es imposible eliminar 37. Mostrar con un ejemplo que es posible que el ministro diga la verdad.

 

Segundo Nivel

Problema 1

En una oficina hay 11 empleados que deben aprender 11 códigos. Para ello hay un solo instructor que en cada sesión les enseña 2 códigos a 2 personas. Determinar el mínimo número de sesiones necesarias para que los 11 empleados sepan los 11 códigos e indicar una posible distribución de empleados y códigos con ese número mínimo de sesiones. (Un empleado puede asistir a una sesión aunque ya conozca uno de los códigos.)


Problema 2

Si a y b son dos números racionales positivos tales que ninguno de ellos es entero pero es entero, determinar si es posible que  sea entero. ¿Y ?

Problema 3

En el pizarrón había un trapecio ABCD de bases AB y CD, en el que se marcaron los cuatro puntos E, F, O y P; E y F son los puntos medios de los lados no paralelos AD y BC, respectivamente; O es el punto de intersección de las diagonales AC y BD, y P es un punto arbitrario de la recta AB. Se borró toda la figura, excepto los cuatro puntos E, F, O y P. Describir un procedimiento que permita reconstruir el trapecio ABCD.

Problema 4

Consideramos el intervalo  de la recta real. Se colorean de rojo 999 puntos que dividen al intervalo  en 1000 partes iguales. Se colorean de azul 1110 puntos que dividen al intervalo  en 1111 partes iguales. Determinar la menor distancia entre un punto rojo y un punto azul, y dar todos los pares de puntos, uno rojo y el otro azul, que están a esa distancia mínima.
ACLARACIÓN:  es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1.


Problema 5

Se tienen 2006 tarjetas, una con cada número entero de 1 a 2006 que se distribuyen al azar en una hilera, una a continuación de la otra. Dos jugadores, por turnos, sacan una tarjeta de cualquiera de los dos extremos de la hilera, a elección del jugador. Cuando se han retirado todas las tarjetas, se suman los números de las tarjetas que retiró cada jugador y el que obtiene la suma mayor gana. Determinar para cada distribución de las tarjetas cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora, describir la estrategia y demostrar que es ganadora.



Problema 6

Sea  Sx el conjunto de todos los números de n dígitos (incluye a los que comienzan con 0). Se dice que cuatro números de Sx  forman una cuaterna especial si los números coinciden en todas las posiciones excepto una, en la cual tienen cuatro dígitos consecutivos. Por ejemplo, {24438, 24448, 24458, 24468} y {06921, 07921, 08921, 09921} son cuaternas especiales de 5 dígitos.
Determinar, para cada n, el máximo número de cuaternas especiales que se pueden formar de modo que ningún número figure en más de una cuaterna.

 

Tercer Nivel

Problema 1

 Sea A el conjunto de los números reales positivos menores que 1 que tienen un desarrollo decimal periódico con un período de diez dígitos distintos. Hallar un entero positivo n mayor que 1 y menor que 1010 tal que   sea un entero positivo para todo a del conjunto A.

Problema 2

En el triángulo ABC, M es el punto medio de AB y D el pie de la bisectriz del ángulo . Si se sabe que MD y BD son perpendiculares, calcular .

Problema 3

Pablo y Nacho escriben entre los dos una sucesión de números enteros positivos de 2006 términos, de acuerdo con las siguientes reglas: Empieza Pablo, que en su primer turno escribe el 1, y a partir de entonces, cada uno en su turno escribe un número entero positivo que sea mayor o igual que el último que escribió el oponente y menor o igual que el triple del último número que escribió el oponente. Cuando entre los dos han escrito los 2006 números, se calcula la suma S de los primeros 2005 números escritos (todos excepto el último) y la suma T  de los 2006 números escritos. Si S y T son coprimos, gana Nacho. En caso contrario, gana Pablo. Determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora, describir la estrategia y demostrar que es ganadora.
ACLARACIÓN: Dos números enteros son coprimos si el máximo común divisor de esos dos números es 1.

Problema 4

Hallar el mayor número M con la siguiente propiedad: en cada reordenamiento de los 2006 números enteros 1,2,...2006  hay 1010 números ubicados consecutivamente en ese reordenamiento cuya suma es mayor o igual que M.

Problema 5

El capitán repartió 4000 monedas de oro entre 40 piratas. Un grupo de 5 piratas se llama pobre si esos 5 piratas recibieron, en conjunto, 500 monedas o menos. El capitán hizo la distribución para que hubiera la mínima cantidad posible de grupos pobres de 5 piratas. Determinar cuántos son los grupos pobres de 5 piratas.
ACLARACIÓN: Dos grupos de 5 piratas se consideran distintos si hay al menos un pirata en uno de ellos que no está en el otro.


Problema 6

Diremos que un número natural n es adecuado si existen n enteros  (que no son necesariamente positivos y pueden estar repetidos) tales que

.

Determinar todos los números adecuados.

 

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