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21º Olimpíada Matemática
Argentina
Certamen Zonal
5 de agosto de 2004
Primer nivel
1
Se hace la lista de todos los números de 5 cifras distintas que se forman
con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. En esta lista los números están ordenados de menor a mayor.
Hallar el número que ocupa la posición número 100 de la lista.
2
En una caja hay $96,50 en monedas de 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos,
50 centavos y $1. Si se le agregaran a la caja una moneda de 5 centavos, dos de 10 centavos,
tres de 25 centavos, cuatro de 50 centavos y cinco de $1, la caja tendría la misma cantidad
de monedas de cada clase.
Calcular cuántas monedas de cada clase tiene la caja.
3
En el triángulo acutángulo ABC, sea D en el lado AC tal que BD es
perpendicular a AC y sea E en el lado AB tal que CE es perpendicular a AB.
Si se sabe que ^CBD = 2.^ABD y ^ACE = 3.^BCE, calcular las medidas de los ángulos del
triángulo ABC.
Segundo Nivel
1
Se hace una lista de 2004 dígitos de acuerdo con la siguiente regla:
los primeros dígitos son 8 y 6, y a partir del tercer dígito, cada nuevo dígito que se
escribe es el dígito de las unidades de la suma de los dos últimos dígitos escritos.
La lista comienza con 86404..., porque 8 + 6 = 14, 6 + 4 = 10, 4 + 0 = 4.
Hallar los
últimos tres dígitos de la lista.
2
Una Asociación de Beneficencia recibe donaciones de cinco empresas,
A, B, C, D y E.
La donación de A equivale a la mitad de lo que dieron, en conjunto,
las otras cuatro empresas. La donación de B equivale a la tercera parte de lo que dieron,
en conjunto las otras cuatro empresas. La donación de C equivale a la cuarta parte de lo
que dieron, en conjunto, las otras cuatro empresas. La donación de D equivale a la quinta
parte de lo que dieron, en conjunto las otras cuatro empresas.
Hallar a qué parte de lo
que dieron en conjunto las restantes cuatro empresas equivale la donación realizada por
la empresa E.
3
Se tiene un rectángulo de papel. El lado menor del rectángulo mide 6 y la
diagonal mide 12. Se dobla el papel a lo largo de una diagonal, y de este modo se obtiene un
triángulo en el que se superponen las dos partes y dos triángulos sin
superposiciones.
Calcular el área del triángulo de la superposición.
Tercer Nivel
1
Sea n = x54y102z un número entero de 8 cifras, donde x, y, z son dígitos.
Se sabe que n es divisible por 8 y que n + 1 es divisible por 3 y por 11. Hallar todos los
valores posibles de n.
2
Lucas rindió una serie de exámenes y después de cada examen calculó
el promedio de los puntos que obtuvo en los exámenes ya rendidos. En el penúltimo obtuvo
84 puntos y su promedio aumentó 1/2 punto. En el último examen obtuvo 64 puntos y su
promedio disminuyó 1 punto.
Hallar la cantidad de exámenes que rindió Lucas y el
promedio final.
3
Sea ABCD un cuadrilátero tal que ^ABC = ^CDA = 90º y AB = BC = 5. El punto E
del lado AD es tal que el triángulo BCE es equilátero.
Calcular la medida del
lado CD.
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