, calcular la medida del ángulo
.XXI Olimpíada
Matemática Argentina
Certamen Nacional
26 al 30 de octubre de 2004
Primer Nivel
Problema 1
En un boliche hay 500 personas. A partir de las 12 horas, cada minuto se retira un grupo de personas: En el primer minuto se van todos los que no tienen ningún amigo entre los presentes; un minuto después se van todos los que tienen exactamente un amigo entre las personas aun presentes; al siguiente minuto se van todos los que tienen exactamente dos amigos entre las personas aun presentes. Y así sucesivamente, para 3, 4, 5, ... hasta que por último se van todos los que tienen exactamente 499 amigos entre las personas que todavía están presentes. Determinar el máximo número de personas que pueden quedar en el boliche 500 minutos después de las 12 horas.
Problema 2
La lotería matemática sortea un número de 10 dígitos, y los ganadores son todos los números que coinciden con el sorteado en exactamente 9 posiciones y además son múltiplos de 7. Si el número sorteado es el 1234567890, determinar cuántos números ganadores hay.
Problema 3
Nico ordena los números enteros del 1 al 21 inclusive y luego Pablo elige 4 números que estén consecutivos de la lista de Nico. Nico debe pagarle a Pablo una cantidad de pesos igual a la suma de los 4 números que eligió Pablo. Determinar la menor cantidad de dinero que deberá pagar Nico y cómo debe ordenar los números para no tener que pagar más.
ACLARACIÓN: El objetivo de Pablo es cobrar lo más posible y el de Nico es pagar lo menos posible.De una bolsa con 7 kilogramos de arroz se debe separar exactamente 1 kilogramo de arroz. Para ello se dispone de una balanza de dos platos y una pesa de 600 gramos. Dar una manera hacerlo realizando 3 pesadas.
ACLARACIÓN: La balanza de dos platos sólo permite afirmar que cuando se equilibra los objetos colocados en ambos platos pesan lo mismo.
Problema 5
Gabriel hace una lista de números con el siguiente procedimiento: el primer número es 2004; el segundo lo elige Gabriel; el tercero es la resta del primero menos el segundo; el cuarto es la resta del segundo menos el tercero; el quinto es la resta del tercero menos el cuarto, y así siguiendo, cada número es la resta del anteúltimo menos el último de los que se escribieron hasta ese momento. El proceso se detiene cuando por primera vez Gabriel escriba un número negativo. Determinar qué número entero positivo debe elegir Gabriel como segundo número para que la secuencia tenga la mayor cantidad posible de números.
Problema 6
Sea ABCD un
cuadrado de lados AB, BC, CD y DA. Si E es el
punto medio del lado CD y M es el punto interior del cuadrado tal
que
, calcular la medida del ángulo
.
Segundo Nivel
Problema 1
Hallar todos los enteros no negativos a y b tales que
3×2a+1=b2.Se tiene una alfombra rectangular de dimensiones desconocidas. Sólo se sabe que sus lados son de longitudes enteras y que sobre la alfombra es posible colocar, sin superposiciones, 234 cuadrados de 3´3 con sus lados paralelos a los de la alfombra. Determinar el número máximo de rectángulos de 1´5 que con certeza se pueden colocar sobre esa alfombra, sin superposiciones y con sus lados paralelos a los de la alfombra.
Problema 3
Se consideran las fracciones
irreducibles
, con a y b enteros positivos, tales que en sus desarrollos
decimales cada dígito después de la coma, a partir del segundo, es igual a la
suma de sus dos dígitos vecinos menos 3. Es decir, el segundo dígito después
de la coma es igual a la suma del primero más el tercero menos 3, el tercer dígito
después de la coma es igual al segundo más el cuarto menos 3, etc. Entre
todas estas fracciones irreducibles hallar una que tenga el máximo denominador
posible.
ACLARACIÓN: Una fracción es irreducible si no se puede simplificar porque el
numerador y el denominador no tienen ningún factor común mayor que 1.
Problema 4
En su práctica de natación Javier recorre varias veces el trayecto entre dos puntos A y B situados en la misma
ribera de un río. Cuando nada de A hacia B lo hace a favor de la
corriente y al regreso, de B a A, en contra de la corriente. Un
tronco arrastrado por la corriente pasa por A en el mismo instante en el
que Javier sale de A. Javier llega a B y regresa de inmediato
hacia A. Durante su regreso se cruza con el tronco justo cuando han
transcurrido 6 minutos desde que salió de A. Luego Javier llega hasta A
y sale de inmediato hacia B y alcanza al tronco cuando han transcurrido 5
minutos desde que lo había cruzado (cuando iba de B a A).
Calcular cuántos minutos tarda el tronco en ir de A hasta B.
ACLARACIÓN: Javier nada todo el tiempo al mismo ritmo.
Problema 5
En un juego,
dos jugadores sacan por turnos piedras de una pila que tiene inicialmente n
piedras. En su primera jugada el primer jugador saca una o más piedras de la
pila, pero no puede retirar todas las piedras. A partir de la segunda jugada, el
jugador que tiene el turno debe quitar una cantidad de piedras que sea divisor
de la cantidad que sacó el adversario en la jugada anterior. Gana el que retira
la última piedra. Determinar para cada valor de n
cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora, describir dicha estrategia
y demostrar que es ganadora.
ACLARACIÓN: Todo número entero es divisor de si mismo.
Problema 6
Sea ABCD un
cuadrilátero convexo de lados AB, BC, CD, DA. Se
sabe que
,
,
, AC=BD y CD=3. Calcular el área del cuadrilátero.
Tercer Nivel
Problema 1
Para cada entero positivo n consideramos la sucesión de 2004 números enteros
.
Determinar el menor entero n tal que los 2004 números de la sucesión son 2004 enteros consecutivos.
ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera.Problema 2
Determinar todos los enteros positivos a, b, c, d tales que
a>b, a2c=b2d y ab+cd=299+2101.Problema 3
Diremos que un tablero rectangular de 0 y 1 es variado si cada fila contiene al menos un 0 y al menos dos 1. Dado n³3, hallar todos los enteros k³1 con la siguiente propiedad:
Las columnas de cada tablero variado de k filas y n columnas se pueden permutar de manera que en cada fila del nuevo tablero los 1 no formen un bloque (es decir, haya al menos dos 1 que están separados por uno o más 0).
Problema 4
Determinar todos los enteros positivos a y b tales que cada casilla del tablero de a´b se puede colorear con rojo, azul o verde de manera que cada casilla roja tenga exactamente una vecina azul y una vecina verde, cada casilla azul tenga exactamente una vecina roja y una verde y cada casilla verde tenga exactamente una vecina roja y una azul.
ACLARACIÓN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.Problema 5
El pentágono ABCDE
tiene AB=BC, CD=DE;
,
y BD=2. Calcular el área del pentágono.
Problema 6
Decidir si es
posible generar una sucesión infinita de números enteros positivos an
tal que en la sucesión no haya tres términos que estén en progresión aritmética
y que para todo n se verifique
.
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