OMA - Olimpíada Matemática Ñandú

Julián y Luciano tienen casillas postales en el mismo correo. En ese correo hay 100 casillas en cada fila, y las casillas están numeradas en forma consecutiva, en la primera fila de 1 a 100, en la segunda fila de 101 a 200, en la tercera fila de 201 a 300, etc.
El número de la fila de la casilla de Julián es igual al número de la casilla de Luciano. Además, la suma de los números de las casillas de Julián y Luciano es 3000. Hallar el número de la casilla de Julián.

En el pizarrón hay escritos cuatro enteros positivos. Si se seleccionan tres de ellos, se calcula el promedio y se le suma el cuarto número se obtienen los números 89; 95; 101 y 117. Hallar los cuatro números del pizarrón.

Se escribe una sucesión de números naturales con la siguiente regla: se eligen los dos primeros números y a partir de entonces, para escribir un nuevo número, se calcula la suma de los últimos dos números escritos, se halla el mayor divisor impar de esta suma y la suma de este mayor divisor impar más 1 es el siguiente número escrito.
Los primeros dos números son 25 y 126 (en ese orden), y la sucesión tiene 2003 números. Hallar el último número escrito.

En el pizarrón estaba escrita la lista de los números enteros positivos que son divisores de 3019. Victoria borró los que son divisores de 2011. Calcular cuántos números quedaron sin borrar.

Se considera la sucesión definida por a1=5, y an+1=an+3n. Calcular a100.

En el triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa BC mide 24. El cuadrado APQR, con P en AB, Q en BC y R en AC tiene lado 7. Hallar el perímetro del triángulo ABC.

	20º Olimpíada Matemática Argentina Certamen Regional 2003

	Primer nivel

1.	Julián y Luciano tienen casillas postales en el mismo correo. En ese correo hay 100 casillas en cada fila, y las casillas están numeradas en forma consecutiva, en la primera fila de 1 a 100, en la segunda fila de 101 a 200, en la tercera fila de 201 a 300, etc. El número de la fila de la casilla de Julián es igual al número de la casilla de Luciano. Además, la suma de los números de las casillas de Julián y Luciano es 3000. Hallar el número de la casilla de Julián.
2.	Leandro hizo la lista de todos los números enteros positivos menores que 20022003 que utilizan exclusivamente los dígitos 0, 1, 2 y 3. Calcular cuántos números tiene la lista de Leandro. ACLARACIÓN: La lista de Leandro tiene también los números que usan algunos pero no todos los dígitos 0, 1, 2 y 3.

3.	Sea ABCD un cuadrilátero convexo de área 21, y O el punto de intersección de sus diagonales, tal que área(ABO)=7. La paralela a BD trazada por A corta a la paralela a AC trazada por B en M. Calcular área(CDM). ACLARACIÓN: Un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180o.

	Segundo nivel

1.	En el pizarrón hay escritos cuatro enteros positivos. Si se seleccionan tres de ellos, se calcula el promedio y se le suma el cuarto número se obtienen los números 89; 95; 101 y 117. Hallar los cuatro números del pizarrón.

2.	Se escribe una sucesión de números naturales con la siguiente regla: se eligen los dos primeros números y a partir de entonces, para escribir un nuevo número, se calcula la suma de los últimos dos números escritos, se halla el mayor divisor impar de esta suma y la suma de este mayor divisor impar más 1 es el siguiente número escrito. Los primeros dos números son 25 y 126 (en ese orden), y la sucesión tiene 2003 números. Hallar el último número escrito.

3.	Sea ABC un triángulo con AB=17, BC=24 y AC=26. Consideramos L en el lado BC tal que AL es la bisectriz del ángulo , y P en el segmento AL tal que BP es perpendicular a AL. Se traza por P la paralela al lado AC, que corta al lado AB en D y al lado BC en E. Calcular BD.

	Tercer nivel

1.	En el pizarrón estaba escrita la lista de los números enteros positivos que son divisores de 3019. Victoria borró los que son divisores de 2011. Calcular cuántos números quedaron sin borrar.

2.	Se considera la sucesión definida por a1=5, y an+1=an+3n. Calcular a100.

3	En el triángulo rectángulo ABC, la hipotenusa BC mide 24. El cuadrado APQR, con P en AB, Q en BC y R en AC tiene lado 7. Hallar el perímetro del triángulo ABC.

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