20º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional

28 de octubre al 1 de noviembre de 2003

Primer nivel

Se tiene un tablero cuadrado de 8´8 dividido en casillas de 1´1. Escribir en cada casilla un 1 o un 2 de modo que en cada cuadrado de 3´3 la suma de los 9 números sea múltiplo de 4, pero la suma de los 64 números del tablero no sea múltiplo de 4.

Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo ABCD se cortan en E y , . Sean P y Q los puntos que dividen el segmento BE en tres partes iguales, con P entre B y Q, y sea R el punto medio del segmento AE. Calcular .

Leonardo pensó un número entero entre 1 y 2003 inclusive, y Julián tiene que adivinar ese número. Para ello puede formularle a Leonardo preguntas que se puedan responder con sí o no. Leonardo tiene obligación de responder todas las preguntas, pero, si lo desea, puede mentir como mucho una vez. (Algunas preguntas posibles son, por ejemplo, “¿Es tu número mayor que 50 y menor que 100?” o “¿Era verdadera la respuesta que diste a mi tercera pregunta?”)

Demostrar que Julián puede determinar con certeza el número de Leonardo mediante 15 preguntas o menos.

Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las 00:00 hasta las 23:59, siempre muestra 4 dígitos. Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de 24 horas, el reloj exhibe por lo menos un 1 pero ningún 2 o exhibe por lo menos un 2 pero ningún 1.

En el pizarrón hay escrito un número de 100 dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a 999. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de 100 dígitos: deja los tres últimos 999, e intercambia a voluntad los primeros 97 dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón 99 números de 100 dígitos. A continuación, suma esos 99 números, y al resultado lo divide por 72. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.

Delante de la cueva de Alí Babá hay un dispositivo para abrir la puerta: es una calesita con forma de cuadrado que tiene cuatro cofres cerrados ubicados uno en cada vértice. En cada cofre hay una moneda que puede estar cara o ceca. La cueva se abre sólo si las cuatro monedas tienen la misma posición, todas cara o todas ceca.

El genio que controla la entrada ofrece al visitante que elija dos de los cofres, los abra, mire las dos monedas y las deje como están o, si lo desea, dé vuelta una de las monedas o dé vuelta las dos monedas de esos cofres. A continuación, si la cueva no se abre, el genio cierra los dos cofres y gira velozmente la calesita de modo que resulta imposible saber cuáles son los cofres que se acaban de abrir y cerrar. Cuando la calesita se detiene, el genio le ofrece al visitante una nueva oportunidad, y así siguiendo. Determinar un procedimiento de sucesivos intentos que le permita al visitante asegurarse de que la cueva se abrirá.

Segundo Nivel

Se tiene un tablero rectangular de 5´50, dividido en casillas de 1´1, y fichas de dominó de 1´2, cada una con dos números escritos: un 1 y un -1, uno en cada mitad. Cada ficha de dominó cubre exactamente dos casillas vecinas del tablero. Gabriel debe cubrir el tablero con estas fichas, sin huecos ni superposiciones, y de manera que en cada fila del tablero la multiplicación de los 50 números sea positiva, y en cada columna del tablero la multiplicación de los 5 números sea positiva. Decidir si Gabriel podrá lograrlo. ¿Y si el tablero es de 5´100?

En caso afirmativo, indicar cómo se cubre el tablero. En caso negativo, explicar el porqué.

Dada una circunferencia de centro O, se trazan cuatro rectas tangentes a la circunferencia de modo que estas cuatro rectas determinan el trapecio ABCD, de bases AB y CD, y lados no paralelos BC y DA. Si , y CO = 4, calcular las medidas de los lados y los ángulos del trapecio.

El entero positivo n tiene exactamente 18 divisores positivos, contando 1 y n. Se numeran los divisores de n de menor a mayor (el primero es 1 y el décimo octavo es n) y se denota x al sexto de estos divisores. Se sabe que el decimotercer divisor, multiplicado por la suma del primero más el segundo más el quinto divisor, es igual al divisor número x+1. Hallar n.

Consideramos los 2004 números enteros n, desde 1 hasta 2004. Determinar para cuántos de estos valores de n se verifica que el número n³+3ⁿ es múltiplo de 5.

Decidir si es posible dividir un cubo en exactamente 100 cubos más pequeños, no necesariamente iguales. ¿Y en 51 cubos?

En el planeta Alfa usan un alfabeto de 100 letras. Una palabra es una secuencia de letras que satisface las siguientes dos condiciones:

No hay dos letras consecutivas iguales. Por ejemplo, BELLEZA no es una palabra, porque tiene LL, y COOPERAR no es una palabra porque tiene OO.

No hay dos letras distintas U y V que figuren en el orden UVUV, ni siquiera si entre cada dos de ellas se intercalan otras letras. Por ejemplo, RESPUESTA no es palabra porque tiene ESES, y CINCUENTA no es palabra porque tiene CNCN.

Determinar la máxima longitud que puede tener una palabra.

Tercer Nivel

Hallar todos los números positivos x tales que

,

donde [x] denota la parte entera de x; {x} = x - [x].

En el pizarrón están escritos los 2003 números enteros desde 1 hasta 2003. Lucas debe borrar 90 números. A continuación, Mauro debe elegir 37 de los números que permanecen escritos. Si los 37 números que elige Mauro forman una progresión aritmética, gana Mauro. Si no, gana Lucas. Decidir si Lucas puede elegir los 90 números que borra de modo que se asegura la victoria.

Sea a³4 un entero positivo. Determinar el menor valor de n > 5, n ¹ a, tal que a se puede representar de la forma

para una elección adecuada de los n enteros positivos x₁, x₂, ..., x_n.

El trapecio ABCD de bases AB y CD, y lados no paralelos BC y DA, tiene , AB=6, CD=3 y AD=4. Sean E, G, H los circuncentros de los triángulos ABC, ACD, ABD, respectivamente. Hallar el área del triángulo EGH.

ACLARACIÓN: El circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres mediatrices de sus lados.

Carlos y Yue juegan al siguiente juego: Primero Carlos escribe un signo + o un signo - delante de cada uno de los 50 números 1, 2, ..., 50. Luego, por turnos, cada uno elige un número de la sucesión obtenida; comienza eligiendo Yue. Si el valor absoluto de la suma de los 25 números que eligió Carlos es mayor o igual que el valor absoluto de la suma de los 25 números que eligió Yue, gana Carlos. En el otro caso, gana Yue. Determinar cuál de los dos jugadores puede desarrollar una estrategia que le asegure la victoria, no importa lo bien que juegue su oponente, y describir dicha estrategia.

Determinar los enteros positivos n tales que el conjunto de todos los divisores positivos de 30ⁿ se puede dividir en grupos de tres de modo que el producto de los tres números de cada grupo sea el mismo.

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