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19º Olimpíada
Matemática Argentina
Certamen Zonal
8 de agosto de 2002
Primer nivel
1
Un edificio tiene sus pisos numerados del O al 25. El ascensor del edificio tiene sólo dos botones, uno amarillo y uno verde. Al apretar el botón amarillo, asciende 7 pisos, y al apretar el botón verde, desciende 9 pisos. Si se aprieta el botón amarillo cuando no hay suficientes pisos por encima, el ascensor se rompe, y lo mismo ocurre cuando se aprieta el botón verde y no hay suficientes pisos por debajo.
Dar una secuencia de botones que le permita a una persona subir del piso 0 al 11 utilizando el ascensor.
2
Ximena y Yanina son promotoras de una marca de bombones y convidan a los clientes de un supermercado. El último domingo, Ximena repartió 440 bombones, de los cuales 153 eran dietéticos. De los bombones
que ese día repartió Yanina, las 2/5 partes eran dietéticos. Del total de bombones que repartieron Ximena y Yanina ese domingo, el 37,5% eran dietéticos. Determinar cuántos bombones repartió Yanina.3
Sea ABCD un trapecio isósceles de bases, AB = 51 y CD = 12 . Los puntos P y Q de la base AB (con P más cera de A y Q más cerca de B) son tales que el triángulo APD, el triángulo BQC y el cuadrilátero DPQC tienen áreas iguales. Calcular la medida del segmento PQ.
Segundo Nivel
1
Un número natural mayor que 10 se dice bueno si los dígitos del número
se pueden dividir en dos grupos tales que la suma de los dígitos de uno de los grupos es igual a la suma de los dígitos del otro grupo. Por ejemplo, 22 es bueno, pues 2=2; 3454 es bueno pues 3+5=4+4; 29403 es bueno, pues 9 + 0 = 2 + 3 + 4.Hallar el menor número natural n tal que n es bueno y n + 1 también es
bueno.2
El barril A contiene una mezcla homogénea de jugo de uva y jugo de manzana en la proporción de 2 litros de uva por cada 5 litros de manzana. El barril B contiene una mezcla homogénea de jugo de uva y jugo de manzana en la proporción de 3 litros de uva por cada 5 litros de manzana. Se vierte el contenido de los dos barriles en uno más grande y se obtiene un total de 154 litros de jugo, en la proporción de 5 litros de uva por cada 9 litros de manzana. Determinar cuántos litros de jugo contenía el barril A.
3
Sea ABC un triángulo obtusángulo con B > 90°. Se consideran los
puntos P y Q en el lado AC tales que AP = PQ = QC. La paralela a BQ trazada por P corta al lado AB en R.Si el área del triángulo ABC es igual a 267, calcular el área del triángulo
ARQ.
Tercer Nivel
1
Hallar todos los números enteros x tales que (11x + 1) / (2x - 1) es un número
entero.2
En el pizarrón hay escritos cuatro números positivos: 7, a, b, 21. Si los tres números 7, a, b están en progresión geométrica, y los tres números a, b, 21 están en progresión aritmética, hallar a y b.
3
Sea ABC un triángulo equilátero de lado 2. Se consideran el punto P en la prolongación del lado AB, el punto Q en la prolongación del lado BC y el el punto R en la prolongación del lado CA tales que Pp / AB = CQ / BC = AR / CA = x.
Determinar x si se sabe que área(PQR) = 19 . área(ABC).
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