XVIII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal

21 de junio de 2001

Primer nivel

1

Reemplazar cada una de las cinco letras por un dígito distinto, para que la siguiente multiplicación sea correcta.

D A Ñ O S

      x 4

S O Ñ A D

2

Sea ABC un triángulo con C = 85°. Se considera un punto P en el lado AB, un punto Q en el lado BC y un punto R en el lado AC tales que AP = AR y BP = BQ. Calcular la medida del ángulo QPR.

Aclaración: No vale medir.

3

Los números fraccionarios y positivos a, b, c, d y e satisfacen las siguientes relaciones:

a . b = 1

b . c = 4

c . d = 9

d . e = 16

e . a = 25

Hallar a, b, c, d y e.

Segundo Nivel

1

Con tres dígitos distintos se forman los seis números de tres cifras distintas. Si se suman estos seis númeors el resultado es 4218. La suma de los tres números más grandes menos la suma de los tres más chicos es igual a 792. Hallar los tres dígitos.

2

En un hexágono regular de lados AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4, sea M el punto medio del lado BC. Si MF corta a la diagonal AD en K y ME corta a la diagonal AD en L, calcular

 área (AMK) .
área (KLEF)

ACLARACIÓN: No vale medir.

3

Del conjunto de los números naturales se suprimieron los cuadrados perfectos y los cubos perfectos. De los números que quedaron (sin suprimir) consideramos los 2001 números más chicos. Hallar el mayor de estos 2001 números.

ACLARACIÓN: Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales y los cubos perfectos son los números que se obtienen al elevar al cubo los números naturales.

Tercer nivel

1

Si se escribe hoy la edad de Alejandro y a continuación la edad d eCarlos, se obtiene un número de cuatro cifras que es un cuadrado perfecto. Si se hiciera lo mismo dentro de 11 años, se tendría de nuevo un cuadrado perfecto de cuatro cifras. Hallar las edades acutales de Alejandro y Carlos.

ACLARACIÓN: Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales.

2

Sea ABCD un cuadrado de lados AB = BC = CD = DA = 2. Se considera el punto F de la diagonal AC tal que ABF = 60°. Hallar el área del triángulo BCF.

ACLARCIÓN: No vale medir.

3

Pedro debía sumar todos los números capicuas de cuatro cifras, pero se olvidó de sumar uno de ellos. Si obtuvo como resultado 490776, hallar el número capicúa que se olvidó de sumar.

ACLARACIÓN: Los números capicúas son los que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. La primera cifra de la izquierda no puede ser 0.

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