OMA - XVIII Olimpíada Matemática Argentina. Certamen Nacional

XVIII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional

12 al 16 de noviembre de 2001

Primer Nivel

Problema 1

Se tiene un rectángulo de 1 x 25, dividido en 25 casillas cuadradas de 1x1. Decidir si es posible escribir los 25 números enteros del 1 al 25, uno en cada casilla y sin repeticiones, de manera tal que la suma de los dos números escritos en dos casillas adyacentes sea siempre un cuadrado perfecto. Si la respuesta es afirmativa, mostrar una distribución de los 25 números. Si es negativa, explicar el porqué.

ACLARACIÓN: Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común.

Problema 2

En un triángulo ABC se ha marcado el punto D en el lado BC y el punto E en el lado AC, y se trazó la bisectriz del ángulo CAD y la bisectriz del ángulo CBE. Estas dos bisectrices se cortan en el punto F. Se sabe que AFB = 84°. Calcular el valor de la suma de ángulos AEB + ADB.

Problema 3

Cintia eligió un múltiplo de 59, mayor o igual que 59, y calculó la suma de sus dígitos. Determinar cuál es el menor valor posible de la suma que calculó Cintia.

Problema 4

Pedro tiene un barril blanco con 55 litros de aceite, mezcla de soja y maíz, pero no sabe en qué proporciones, y un barril gris con 66 litros de aceite, mezcla de soja y maíz, pero tampoco sabe en qué proporciones, ni si estas son iguales o distintas que las del barril blanco. Quiere lograr que la proporción de aceite de maíz de la mezcla del barril blanco sea igual a la proporción de aceite de maíz de la mezcla del barril gris, utilizando un sola vez el siguiente procedimiento:

quitar de los dos barriles iguales cantidades de aceite, que se guardan por un rato en dos recipientes vacíos; lo que se quita del barril blanco se coloca en un recipiente y lo que se quita del barril gris se coloca en el otro recipiente;

agregar en el barril gris lo que se quitó del blanco y agregar en el barril blanco lo que se quitó del gris.

Así, al finalizar el procedimiento, el barril blanco tendrá nuevamente 55 litros y el gris tendrá 66 litros.

Decidir si eligiendo apropiadamente la cantidad de litros de aceite que quitará de cada uno de los barriles, Pedro puede lograr con certeza su objetivo, es decir, que al final, en los dos barriles las proporciones de las mezclas sean las mismas.

Si la respuesta es afirmativa, calcular cuál es la cantidad de litros que debe quitar de cada barril. Si la respuesta es negativa, explicar el porqué.

Problema 5

Sea ABCDE un pentágono de lados AB, BC, CD, DE y EA tal que

área (ABC) = área (ABD) = área (ACD) = área (ADE) = 17.

Calcular el área del triángulo BCE.

Problema 6

Se tienen 200 bolitas de igual tamaño y color, pero 100 de las bolitas pesan 20 gramos cada una, y las otras 100 bolitas pesan 21 gramos cada una. Se debe formar dos grupos de distinto peso pero que contengan la misma cantidad de bolitas cada uno. Para ello, se utiliza una balanza con dos platillos (que sólo indica si los objetos en un platillo pesan más, menos o lo mismo que los objetos del otro platillo). Determinar la menor cantidad de pesadas necesarias para formar los dos grupos, y explicar cómo se forman los dos grupos con esa cantidad de pesadas.

ACLARACIÓN: No hay exigencias sobre la cantidad de bolitas de cada grupo, sólo se pide que sean cantidades iguales.

Segundo Nivel

Problema 1

Si n es un número natural, denotamos r (n) a la suma de los n restos que se obtienen al dividir n por 1, por 2,..., por n. Por ejemplo, r (7) = 0 + l + 1 + 3 + 2 + 1 + 0 = 8. Hallar un número n mayor que 1.000.000 tal que r (n) = r (n + 1).

Problema 2

En el triángulo ABC, que tiene BAC = 63°, se trazó la bisectriz del ángulo BAC. Sea l la recta que pasa por A y es perpendicular a esta bisectriz. Si la recta l corta a la recta BC en P de modo tal que BP=AC+AB, hallar las medidas de los ángulos del triángulo ABC. Dar todas las posibilidades.

Problema 3

Carlos coloreó cada casilla de un tablero de 100 x 100 con uno de cuatro colores de modo que haya exactamente 25 casillas de cada color en cada fila y en cada columna. Demostrar que en el tablero hay dos filas y dos columnas tales que las cuatro casillas de las intersecciones de esas filas y columnas son una de cada color.

Problema 4

Lucas eligió un número natural n de dos dígitos, calculó 10ⁿ- n y luego sumó los dígitos del número calculado. La suma que obtuvo es un múltiplo de 170. Determinar todos los posibles valores del número n de dos dígitos que eligió Lucas.

Problema 5

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, y lados no paralelos BC y DA, tal que BAD = ADC = 90°, AB = 54 y CD = 24. Se sabe además que la bisectriz del ángulo ABC corta a la bisectriz del ángulo BCD en un punto P del lado DA. Calcular las medidas de los lados BC y DA.

Problema 6

Hay varias monedas de 10 centavos sobre una mesa (no se sabe cuántas). Las monedas pueden tocarse entre si, pero no superponerse. Nicolás debe colorear las monedas de modo que si dos monedas se tocan sus colores sean diferentes. Determinar el menor número de colores que necesita tener Nicolás para hacer correctamente la coloración, si aun no ha visto cuántas monedas hay ni cómo están ubicadas.

Tercer Nivel

Problema 1

Sergio piensa un número entero positivo $S$ S, menor o igual que 100. Iván debe adivinar el número que pensó Sergio, utilizando el siguiente procedimiento: en cada paso, elige dos números enteros positivos $A$ A y B $B$ menores que 100 $100$ , y le pregunta a Sergio cuál es el máximo común divisor entre $A+S$ A+S y B $B$ . Dar una secuencia de siete pasos que le asegure a Iván adivinar el número S que pensó Sergio.

Aclaración: En cada paso, Sergio responde correctamente la pregunta de Iván.

Problema 2

Sea ABC un triángulo tal que el ángulo ABC $\angle ABC$ es menor que el ángulo ACB $\angle ACB$ . La bisectriz del ángulo BAC $\angle BAC$ corta al lado BC en D $D$ . Sean E $E$ en el lado AB $AB$ tal que < EDB = 90° y F $F$ en el lado AC $AC$ tal que < BED = < DEF $\angle BED = \angle DEF$ . Demostrar que < BAD = < FDC.
ACLARACIÓN: < BED "significa el ángulo BED"

Problema 3

Sean a $a$ y b $b$ enteros positivos, a < b $a<b$ , tales que en el desarrollo decimal de la fracción a/b $\dfrac{a}{b}$ figuran, en algún lugar, los cinco dígitos 1, 4, 2, 8, 6 $1,4,2,8,6$ , en ese orden y en forma consecutiva. Determinar el menor valor posible que puede tomar $b$ b.

Problema 4

Hallar todos los enteros positivos k que pueden expresarse como suma de 50 fracciones tales que los numeradores sean los 50 números naturales del 1 al 50 y los denominadores sean enteros positivos,

es decir, k = 1 / a₁ + 2 / a₂ + 3 / a₃ + ... + 50 / a₅₀ con a₁, a₂, a₃, ..., a₅₀ enteros positivos.

Problema 5

Se consideran todos los conjuntos de 49 números enteros positivos distintos menores o iguales que 100. Leandro le asignó a cada uno de estos conjuntos un número entero positivo menor o igual que 100. Demostrar que hay un conjunto L de 50 números enteros positivos distintos menores o iguales que 100, tal que para cada número x de L el número que asignó Leandro al conjunto de 49 números L - {x} es distinto de x. ACLARACIÓN: L - {x} denota al conjunto que resulta de quitarle a Leí número x.

Problema 6

Dado un rectángulo R de área 100000, Pancho debe cubrir completamente el rectángulo R con una cantidad finita de rectángulos de lados paralelos a los lados de R. A continuación, Martín colorea de rojo algunos rectángulos del cubrimiento de Pancho de modo que no haya dos rectángulos rojos que tengan puntos interiores en común. Si el área roja es mayor que 0,00001 gana Martín. En caso contrario, gana Pancho. Demostrar que Pancho puede realizar el cubrimiento para asegurarse la victoria.

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