XVII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

5 de octubre de 2000

1

Lucas debe reemplazar cada letra por un número natural de 1 a 9 inclusive, sin repeticiones, de modo que los ocho números

A / B,

(A + B) / C,

(A + B + C) / D,

(A + B + C + D) / E,

(A + B + C + D + E) / F,

(A + B + C + D + E + F) / G,

(A + B + C + D + E + F + G) / H,

(A + B + C + D + E + F + G + H) / I,

sean todos enteros. Determinar todos los números naturales por los que puede reemplazar a la letra I.

2

Determinar la cantidad de pares de números naturales (a, b) que verifican simultáneamente las siguientes dos condiciones: el máximo común divisor entre a y b es igual al producto de los 5 primeros números naturales; el mínimo común múltiplo entre a y b es igual al producto de los 15 primeros números naturales. Es decir,

mcd (a, b) = 1.2.3.4.5   y   mcm (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.

3

En una hoja de papel rectangular de 12 cm de largo y 9 cm de ancho se ha trazado un segmento con sus extremos en dos lados opuestos del rectángulo, de manera tal que al doblar el papel a lo largo del segmento, dos vértices opuestos del rectángulo quedan superpuestos. Calcular la longitud del segmento trazado. NO VALE MEDIR.

1

Dado un número natural, la operación legal es la siguiente secuencia de cuatro pasos: suprimir el último dígito de la derecha; escribir el dígito suprimido como primer dígito de la izquierda; multiplicar por 9; dividir por 2. Por ejemplo, el resultado de aplicar la operación legal a 425 es 9 . 542 / 2 = 2439.

Diremos que un número natural n es especial si el resultado de aplicarle a n la operación legal es el mismo número natural n.

Una computadora hizo la lista de todos los números especiales de hasta 2000 cifras, ordenados de menor a mayor. Hallar los 10 primeros números de esa lista.

2

Un número natural es balanceado si tiene la misma cantidad de cifras que de divisores primos distintos. Por ejemplo, 20 es balanceado, pues tiene dos cifras y dos divisores primos distintos (2 y 5); 81 no es balanceado, pues tiene dos cifras y sólo un divisor primo (el 3); tampoco es balanceado el 60, pues tiene dos cifras y tres divisores primos distintos (2, 3 y 5).

Hallar un número balanceado de 6 cifras y determinar cuál es la máxima cantidad de cifras que puede tener un número balanceado.

3

Sea ABCD un cuadrilátero con <ABC = <ADC = 90°, <BAD = 60°, AB = 7 y AD = 8. Calcular las medidas de BC y CD.

(Nota: <ABC indica el ángulo ABC)

1

En cada casilla de un tablero gigante hay escrito un número natural, de acuerdo con las siguientes reglas: los números de la primera columna forman una progresión aritmética de primer término 6 y diferencia 3, es decir, 6, 9, 12, 15, ... Los números de la primera fila forman una progresión aritmética de diferencia 3, los números de la segunda fila forman una progresión aritmética de diferencia 5, y en general, los números de la fila número k forman una progresión aritmética de diferencia 2k+l.

Determinar todas las casillas que tienen escrito el número 2000.

2

Pablo eligió un número natural y lo escribió tres veces en el pizarrón. A continuación realizó varias veces una operación del siguiente tipo: borrar un número del pizarrón y escribir en su lugar el número igual a la suma de los otros dos menos 1.

Al final de este proceso, uno de los tres números del pizarrón es 900. Determinar todos los posibles valores del número que eligió inicialmente Pablo.

3

Los triángulos rectángulos ABC y ABD están inscriptos en la misma semicircunferencia de diámetro AB = 15. Se traza por D la perpendicular a AB que intersecta a AB en P, al lado AC en Q y a la prolongación del lado BC en R.

Si PR = 40/3 y PQ = 15/4 , hallar la medida de DP.

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