XVII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

6 de julio de 2000

1

Las sillas de la aerosilla del Cerro Omperá están numeradas en forma consecutiva 1, 2, 3, etc. Las distancias entre dos sillas consecutivas son todas iguales. Durante una tormenta, la aerosilla se detuvo, y en ese momento la silla 22 se encontraba a la misma altura que la 59, y la silla 93 se encontraba a la misma altura que la 142. Determinar el número de sillas que tiene la aerosilla.

2

En un tablero como el de la figura, colocar en cada casilla un número entero entre 1 y 16, sin repetir, de manera que la suma de los números escritos en dos casillas vecinas sea siempre un cuadrado perf ecto.

ACLARACIONES: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
Cuadrados perfectos son los números que son iguales al cuadrado de un número entero.

3

Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC y ABC = 1440. Se consideran el punto K en AB, el punto L en BC y el punto M en AC de modo que KL es paralelo a AC, KM es paralelo a BC y KL = KM. La recta LM intersecta a la prolongación del lado AB en P. Hallar la medida del ángulo BPL. NO VALE MEDIR.

1

En el pizarrón está escrito un número de tres cifras, todas distintas. Ana intercambia la primera cifra con la última. La suma del número escrito en el pizarrón más el número de Ana es igual a 92 veces la suma de los dígitos del número escrito en el pizarrón. Determinar todos los posibles valores del número escrito en el pizarrón.

2

Se embaldosa un pasillo de 2 x 7 utilizando siete baldosas grises de 2 x l cada una. Determinar de cuántas maneras puede quedar embaldosado el pasillo.

3

Sean A, B, C tres vértices consecutivos de un hexágono regular de lado 10, y M el punto medio del lado BC. Determinar la longitud del segmento AM. NO VALE MEDIR.

1

Determinar todos los números naturales n tales que n y n + 475 son ambos cuadrados perfectos.

2

Sea ABCD un rombo de lado 61 tal que sus diagonales AC y BD verifican que AC = 98 + BD. Hallar el área del rombo.

3

Sea n un número natural. Se tiene un rectángulo de 3 x n, cuadriculado en cuadraditos de l x l.

Denominamos puntos de la cuadrícula a los puntos donde se cortan dos líneas del cuadriculado, o una línea del cuadriculado con un lado del rectángulo, o dos lados del rectángulo.

Si se cuentan todos los cuadrados de todos los tamaños posibles que tienen sus cuatro vértices en puntos de la cuadrícula, se obtienen 950 cuadrados. Hallar el valor de n.

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