XVI Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal

19 de agosto de 1999

1

Seis personas tratan de adivinar el número de piedras que hay en una caja. Ana dice que hay 52 piedras, Beatriz dice 59, Carla dice 62, Daniel 65, Enrique 49 y Federico 42. Todos se equivocaron, algunos dijeron de más y otros dijeron de menos, y sus errores fueron de 1, 4, 6, 9, 11 y 12, en algún orden, pero no se sabe quién cometió cada error.

Determinar cuántas piedras hay en una caja y qué error cometió cada persona.

2

En un programa de computadora:

al apretar la tecla A se eleva al cuadrado el número que está en pantalla, por ejemplo, si el número que está en pantalla es 23, lo reemplaza por 529;

al apretar la tecla B se invierte el orden de las cifras del número que está en pantalla, por ejemplo, si el número que está en pantalla es 10224, lo reemplaza por 42201.

Lucas ingresó un número de tres cifras, primero apretó una vez la tecla A, luego apretó una vez la tecla B, y obtuvo un número de cinco cifras.

Emiliano ingresó el mismo número de tres cifras que Lucas, apretó primero una vez la tecla B, luego apretó una vez la tecla A, y obtuvo el mismo número de cinco cifras que Lucas.

Determinar todos los números de tres cifras que pudo haber ingresado Lucas.

3

Un parque tiene forma de hexágono regular de 2 km de lado. Alicia caminó 5km, comenzando en un vértice y siguiendo el perímetro del parque. ¿A cuántos kilómetros, medidos en línea recta, está del punto de partida?

1

Hallar los dígitos a, b tales que el número de 7 cifras

6a74b14

es múltiplo de 9 y de 11. Dar todas las posibilidades.

2

El cuadrado de la figura está dividido en cuadraditos de 2 x 2 y se armó con fósforos de 2 cm.

Hallar el tamaño del mayor cuadrado dividido en cuadraditos de 2 x 2 que se puede armar si se tienen 1999 fósforos. ¿Cuántos fósforos sobran?

3

Sea ABCD un rectángulo y AC una diagonal. Se trazan desde B y desde D perpendiculares a la diagonal AC, que la intersectan en P y Q, respectivamente. Se sabe que los puntos P y Q dividen a AC en tres segmentos iguales, de longitud 1. Hallar el área del rectángulo ABCD.

1

En el plano consideramos los puntos P = (x, y) tales que x e y son números enteros mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1999. Determinar cuántos de estos puntos verifican que x + y es múltiplo de 5.

2

Hallar los números naturales x, y, z que satisfacen el sistema:

3

Sea ABCD un cuadrado de lados AB = BC = CD = DA = 40. Sean E y F en los lados AB y CD respectivamente, tales que AE = 12 y DF = 33. Si G es el punto de intersección de AF y DE, calcular BG.

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