XVI Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

30 de setiembre de 1999

1

En el tablero de la figura quedan seis casillas vacías. Escribir en cada una de esas seis casillas un número distinto de cero de modo que, una vez completo, el tablero sea un cuadrado mágico multiplicativo, es decir: al multiplicar los tres números de cada línea (horizontal, vertical o diagonal) se obtiene siempre el mismo número.

2

Consideramos los números naturales N menores que 10000 que tienen el dígito 2 en el lugar de las decenas. ¿Cuántos de estos números N tienen resto 5 en la división por 12?

3

Se tiene un papel rojo con forma de hexágono regular de lado 2 y un papel azul con forma de cuadrado de diagonal igual a 4. Se coloca el cuadrado encima del hexágono de modo que dos vértices opuestos del cuadrado coincidan con dos vértices opuestos del hexágono. Hallar el área de la región del hexágono que no queda cubierta por el cuadrado, es decir de la región roja visible.

1

La ruta que une A con B tiene 999 km. Cada 1 km. hay una señal con dos números: el primero es la distancia recorrida desde A y el segundo es la distancia que falta para llegar a B. Por ejemplo, la señal en A es 0 999 y la señal a 45 km. de A es 45 954 . En total hay 1000 señales, contando la de A y la de B.

En un viaje de A a B, Pablito se entretiene contando las señales que usan exactamente dos dígitos. Por ejemplo, cuenta la señal 0 999 porque usa exactamente dos dígitos (0 y 9), pero no cuenta la señal 45 954 , porque utiliza tres dígitos (4, 5 y 9).

¿Cuántas señales cuenta Pablito en el viaje desde A hasta B?

2

Una hora después de la partida el tren se detuvo por un desperfecto mecánico. Los técnicos lo repararon en ½ hora, pero de ahí en más, el tren continuó su viaje a la mitad de la velocidad normal y llegó a destino con 2 horas de demora. Si el desperfecto hubiese ocurrido 100 km. más adelante, la demora hubiera sido de sólo de 1 hora.

Determinar la distancia del recorrido total del tren.

ACLARACIÓN: Se entiende que 100 km. más adelante, la reparación tardaría también ½ hora y que el resto del viaje se haría a la mitad de la velocidad normal.

3

Sea P un punto en el interior del triángulo ABC. Se trazan por P las paralelas a los lados del triángulo, que queda dividido en tres triángulos y tres paralelogramos. Si las áreas de los tres triángulos de la subdivisión son, en algún orden, 9, 16 y 25, hallar el área del triángulo ABC.

1

En un tablero rectangular de p filas y q columnas están escritos todos los números enteros desde el 1 hasta el pq, en orden creciente, comenzando con el 1 en la casilla superior izquierda y terminando con pq en la casilla inferior derecha. Se sabe que 95 está en la tercera fila, 987 está en la vigésimo primera fila (es decir, en la fila número 21) y 1999 está en la última fila. Hallar las dimensiones p y q del tablero.

2

Sea MNOP un cuadrado de lados MN=NO=OP=PM=1. Consideramos la circunferencia de centro O y radio 1. La recta MO intersecta a la circunferencia en los puntos K, interior al cuadrado, y L, exterior al cuadrado. La recta LP intersecta a la prolongación del lado NM en S. Hallar el área del triángulo KMS.

3

Determinar cuántos pares (a,b) de números enteros con 1 < a < 100, 1 < b < 100, son tales que a³ + b³ es múltiplo de 7.

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