XVI Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional

8 al 12 de Noviembre de 1999

1

Cierto día, por la mañana, todos los tripulantes del barco pirata recibieron la misma cantidad de monedas de oro. Durante el día, en distintos momentos, algún pirata repartía una parte de sus monedas entre todos los demás, dándole a cada uno la misma cantidad de monedas. A la noche, había un pirata que tenía 19 monedas y otro que tenía 150 monedas. Decidir si con esta información se puede saber con certeza cuántos tripulantes tenía el barco.

2

El paralelogramo ABCD tiene el lado AB mayor que el lado BC y el ángulo DAB menor que el ángulo ABC. Las mediatrices de los lados AB y BC se intersectan en el punto M, que además pertenece a la prolongación del lado AD. Si MCD = 15º, hallar lal medida del ángulo ABC.

3

Utilizando los dígitos 0, 1 y 2 se escribe, en etapas, una secuencia. En la primera etapa se escribe un 0, y a partir de ahí, en cada etapa se agregan tantos dígitos como los que había. Para escribir los nuevos dígitos, se copian los dígitos que ya estaban escritos, pero cambiando 0 por 1, 1 por 2 y 2 por 0. Mostramos en los siguientes ejemplos la secuencia después de la primera, de la segunda, de la tercera, de la cuarta y de la quinta etapa, respectivamente:

0; 01; 0112; 01121220; 0112122012202001.

Determinar cuál es el dígito que ocupa la posición 1000000 de la secuencia.

4

Lucas marca sobre una recta una cierta cantidad de puntos, de manera tal que la distancia entre dos puntos consecutivos sea siempre 1cm. Emiliano pinta todos los puntos marcados por Lucas, algunos de rojo y otros de azul, a su elección.

Si hay tres puntos pintados del mismo color, digamos A, B, C, tales que la distancia de A a B es igual a la distancia de B a C, gana Lucas. Si no, gana Emiliano.

Determinar el menor número de puntos que debe marcar Lucas para asegurarse la victoria. Demostrar que con el número hallado Lucas siempre gana, y que con un número menor, puede ganar Emiliano.

5

Escribir 1999 como la suma de 30 números enteros positivos, no necesariamente distintos, de modo que el producto de los 30 números tenga el máximo valor posible, y explicar por qué es imposible obtener un producto mayor.

6

En un cuadrilátero convexo ABCD de lados AB, BC, CD, DA se consideran un punto M del lado AB y un punto N del lado CD tales que AM / AB = CN / CD. Los segmentos MD y AN se intersectan en P; los segmentos NB y CM se intresectan en Q. Demostrar que

área (MQNP) = área (APD) + área (BQC)

1

Hay que elegir cuatro enteros positivos, menores que 100, a < b < c < d, tales que a + d = b + c  y  b.c - a.d = 99. ¿ De cuántas maneras se puede hacer la elección?

2

Inicialmente hay un bichito en cada uno de los 28 puntos marcados de la figura. Todos comienzan a caminar por las líneas, a la misma velocidad, y al llegar a un punto marcado, cada bichito gira 60º o 120º en cualquier sentido y continúa su marcha. Demostrar que tarde o temprano habrá por lo menos dos bichitos que se encuentren en un mismo punto marcado. (No nos interesan los encuentros cuando dos bichitos se cruzan caminando por una línea.)

3

Dada una circunferencia de radio 1 se trazan cuatro rectas tangentes que determinan al intesectarse entre ellas los cuatro vértices de un rombo ABCD tal que BAD = 60º. Se traza una recta l, tangente a la circunferencia y que intersecta los lados BC y CD del rombo en los puntos M y N respectivamente. Hallar el área del triángulo AMN y demostrar que vale lo mismo para cualquier elección de la recta l.

4

El triángulo ABC es isósceles, con AB = BC y ABC = 82º. Se considera el punto M en el interior del triángulo tal que AM = AB y MAC = 11º. Hallar la medida del ángulo MCB.

5

Para cada terna de enteros positivos (a, b, c) tales que a² + b² = c² se considera el numero n = a.b.(b² - a²). Hallar el mayor número natural que es divisor común de todos los números n considerados.

6

Se tiene un conjunto de n monedas, no necesariamente todas iguales, tales que cada una pesa un número entero de gramos, y que en conjunto pesan 2n gramos. Se sabe que es imposible dividir el conjunto de monedas en dos grupos del mismo peso. Determinar cuánto pesa cada una de las n monedas. Dar todas las posibilidades.

1

Se escriben tres números naturales mayores o iguales que 2, no necesariamente distintos, y a partir de ellos se construye una sucesión mediante el siguiente procedimiento: en cada paso, si el antepenúltimo número escrito es a, el penúltimo es b y el último es c, se escribe x tal que

x . c = a + b + 186.

Determinar todos los valores posibles de los tres números escritos inicialmente para que al continuar indefinidamente el proceso todos los números escritos sean naturales mayores o iguales que 2.

2

Sean C1 y C2 circunferencias exteriores, de centros O1 y O2, respectivamente. Se trazan por O1 las dos tangentes a la circunferencia C2, que intersectan a C1 en P y P'. Se trazan por O2 las dos tangentes a la circunferencia C1, que intersectan a C2 en Q y Q'. Demostrar que el segmento PP' es igual al segmento QQ'.

3

En un torneo de truco se inscriben 2k personas. Se juegan todos los partidos posibles con la condición de que en cada partido, cada uno de los cuatro jugadores se conoce con su compañero y no se conoce con ninguno de sus dos oponentes. Determinar el máximo número de partidos que puede haber en un tal torneo.

4

Se han colocado monedas de diámetro 1 sobre un cuadrado de lado 11, sin que se superpongan ni se sobresalgan del cuadrado. ¿Puede haber 126 monedas? ¿y 127? ¿y 128?

5

Un rompecabezas con forma de rectángulo se arma con 2000 piezas que son todos rectángulos iguales, y semejantes al rectángulo grande, de modos que los lados de los rectángulos pequeños son paralelos a los del grande. El lado menor de cada pieza mide 1. Determinar cuál es el mínimo valor posible del área del rectángulo grande.

6

Consideramos el conjunto E de todas las fracciones 1 / n, donde n es un número natural. Una progresión aritmética maximal de longitud k del conjunto E es una progresión aritmética de k términos tal que todos sus términos pertenecen al conjunto E, y es imposible extenderla a derecha o a izquierda con otro elemento de E. Por ejemplo, 1 / 20, 1 / 8, 1 / 5, es una progresión aritmética en E de longitud 3, y es maximal, pues para extenderla hacia la derecha hay que agregar 11 / 40, que no pertenece a E, y para extenderla a izquierda hay que agregar - 1 / 40, que tampoco pertenece a E. Demostrar que para todo entero k, k > 2, existe una progresión maximal de longitud k del conjunto E.

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