XVI Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

24 de junio de 1999

1

Completar la tabla con las letras A, B, C, D, E de modo que no haya dos letras iguales en una misma fil, no haya dos letras iguales en una misma columna, no haya dos letras iguales en una misma línea diagonal así \ ni haya dos letras iguales en una misma línea diagonal así /.

2

En el triángulo ABC, A = 65^o y B = 70^o. Sobre la prolongación del lado BC se marca P tal que BP = AB y B esté entre P y C, y se marca Q tal que CQ = AC, y C esté entre B y Q. Si O es el centro de la circunferencia que pasa por A, P y Q, calcullar los ángulos OÂQ y OÂP. NO VALE MEDIR.

3

Hallar un número natural de cuatro cifras abcd que sea múltiplo de 11, tal que el número de dos cifras ac sea múltiplo de 7 y a + b + c + d = d².

1

Escribir en cada casilla un número entero entre 1 y 12 inclusive, sin repetir, de modo que las dos filas sumen lo mismo y las seis columnas sumen lo mismo.

2

En un triángulo isósceles ABC, con AC = BC, se consideran el punto P en el lado AC tal que AP = AB y el punto Q en la prolongación de AB (B entre A y Q) tal que AQ = AC. Si PB = QB hallar los ángulos del triángulo ABC.

3

Sean a, b, c, d, e, números naturales consecutivos tales que a + b + c + d + e es un cubo perfecto y b + c + d es un cuadrado perfecto. Hallar el mínimo valor posible de c.

1

Sean x, y números reales positivos tales que

x,  x + 2y,  2x + y

forman una progresión aritmética y

(y + 1)²,  xy + 25,  (x + 1)²

forman una progresión geométrica.

Hallar los valores de x e y.

2

Utilizando exclusivamente dos dígitos distintos, 2 y a, se forma el siguiente número de 90 cifras:

2a22a222a2222a...

Si este número de 90 cifras es múltiplo de 9, dar todos los valores posibles del dígito a.

3

Sean ABCD un cuadrado de lados AB = BC = CD = DA = 72 y P un punto exterior al cuadrado tal que el triángulo ABP es rectángulo en P. Si DP = 130 y CP = 122, hallar las medidas de AP y BP.

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