XV Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal

20 de Agosto de 1998

1

Andrea, Belén y Claudia rindieron exámenes de las mismas materias. En la primera materia sus notas fueron tres números naturales distintos y Belén fue la que obtuvo la nota más alta; luego en cada una de las demás materias las chicas se sacaron esas mismas tres notas en algún orden. Si Andrea sumó entre todas las materias 18 puntos, Belén sumó 12 y Claudia sumó 9, ¿cuántas materias rindieron y qué nota se sacó cada chica en cada examen?

2

En el triángulo isósceles ABC, con AB=AC, P es el punto del lado AB tal que AP=PC. Si la bisectriz del ángulo ABC corta a PC en O de modo que PO=BO, hallar los ángulos del triángulo ABC.

3

De los 999 números:
mcd(1;1998), mcd(2;1998), mcd(3;1998), mcd(4;1998), ..., mcd(997;1998), mcd(998;1998), mcd(999;1998),
¿cuántos son números mayores que 19?

ACLARACION: mcd denota máximo común divisor. Por ejemplo, mcd(54;36)=18.

1

Ariel, Beto, Carlos y Dany juegan cuatro partidas de cartas. En cada partida hay un solo perdedor que debe darle a cada uno de sus tres contrincantes una suma de dinero igual a la que el contrincante tiene en ese momento. En la primera partida perdió Ariel, en la segunda Beto, en la tercera Carlos y en la cuarta perdió Dany. Al finalizar las cuatro partidas los cuatro tienen $64 cada uno. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al comenzar la primera partida?

2

El trapecio ABCD tiene AB paralelo a CD. Sean M el punto medio de la diagonal AC, N el punto medio de la diagonal BD y P el punto medio del lado AB. Si AB=15, CD=24 y la altura del trapecio es h=14, hallar el área del triángulo MNP.

3

Dividir el conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} en dos grupos de ocho números cada uno de modo tal que en los dos grupos la suma de los ocho números sea la misma y en los dos grupos la suma de los cuadrados de los ocho números sea la misma.

1

En el triángulo ABC, sean D y E en los lados AB y AC respectivamente. Si ^ABC=^AED, AD=3, AE=2, DB=2, hallar EC.

(^ABC es "ángulo ABC")

2

¿Cuántas fracciones mayores que 97/99 y menores que 98/99 tienen denominador mayor o igual que 2 y menor o igual que 98?

3

En cada casilla de un tablero cuadriculado de 9´8 hay escrito un número real de modo que tal que los números de cada fila forman una progresión aritmética y los números de cada columna forman una progresión aritmética. La suma de los números de las cuatro casillas de las esquinas es 98. Hallar la suma de todos los números del tablero.

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