XV Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

1 de Octubre de 1998

1

Diremos que un número natural es optimista si sus cifras están ordenadas en forma creciente y diremos que un número natural es pesimista si sus cifras están ordenadas en forma decreciente. Por ejemplo, son optimistas 1358, 24, 89, son pesimistas 41, 820, 762, y no son ni optimistas ni pesimistas 7, 1134, 253, 9773, 8592.
Hallar el primer número natural a, mayor que 150 y tal que desde 1 hasta a (inclusive) haya la misma cantidad de números pesimistas que de números optimistas.

2

En el trapecio ABCD, de bases AB y CD, y lados BC y AD, AD=39, CD=14, ángulo ABC=69° y ángulo CDA=138°. Hallar la medida de AB.

3

En cada vértice de un cuadrado hay una semilla. Una hormiga sale de un vértice y camina por los lados del cuadrado arrastrando una enorme bolsa de semillas y sólo se detiene en los vértices. Cuando llega a un vértice, si viajaba en el sentido de las agujas del reloj, agrega tantas semillas como las que hay en el vértice del que venía, y si viajaba en sentido contrario a las agujas del reloj, quita semillas, agrega semillas, o no hace nada, de modo que quede la misma cantidad que en el vértice del cual venía.
¿Puede la hormiga organizar su viaje para tener exactamente 98 semillas en cada vértice?
Si la respuesta es no, explicar por qué. Si la respuesta es sí, indicar el camino de la hormiga.

1

Hallar el menor cuadrado perfecto que termina en 9009 (es decir, tiene 9 en las unidades y en las unidades de mil, y tiene 0 en las decenas y en las centenas).

2

El paralelogramo ABCD tiene el ángulo BAD agudo y el lado AD menor que el lado AB. La bisectriz del ángulo BAD corta al lado CD en E.
Se traza por D una perpendicular a AE que corta a AE en P, y se traza por E una perpendicular a AE que corta al lado BC en Q.
Sabiendo que PQ es paralelo a AB y que AB=20, calcular la medida del lado AD.

3

Utilizando exclusivamente las letras A y B se escriben palabras de 15 letras tales que en cada palabra figuren exactamente cinco veces el grupo AA, y exactamente tres veces cada uno de los grupos AB, BA y BB. Por ejemplo, una de estas palabras es AAAABABBAAABBBA. ¿Cuántas palabras distintas se pueden escribir?

1

Martín sale de Buenos Aires hacia Mar del Plata a las 8:00 de la mañana; ese mismo día y a la misma hora Jorge y Nicolás salen de Mar del Plata hacia Buenos Aires. A las 9:30 de la mañana, Jorge está exactamente a mitad de camino entre Martín y Nicolás; a las 10:00 de la mañana, Martín está exactamente a mitad de camino entre Jorge y Nicolás.
Determinar a qué hora se cruzan Martín y Jorge, y a qué hora se cruzan Martín y Nicolás, si todos viajan a velocidades constantes.

2

Hallar el mayor natural n tal que

4¹⁹+4⁹⁸+4ⁿ

es un cuadrado perfecto.

3

En una circunferencia se consideran cuatro puntos distintos, A, B, C, D, tales que AD es diámetro, y se traza la recta tangente por D.
Sean P el punto de intersección de la recta AB con la tangente y Q el punto de intersección de la recta AC con la tangente.
Si AB=46,08; AC=28,8 y BP=3,92, calcular la medida del segmento CQ.

Archivo de Enunciados Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar