Certamen Nacional

1. Julia intercambió los dígitos de un número de 3 cifras de modo que ningún dígito quedo en su posición original. Después restó el número viejo menos el nuevo y el resultado es un número de 2 cifras que es un cuadrado perfecto. Hallar todos los resultados que pudo obtener Julia.

2. ¿Cuál es el mínimo número de casillas que se deben colorear en el tablero de 6 x 6 para que sea imposible recortar de la parte sin pintar un pedazo con la siguiente forma:

3. Sea ABC un triángulo escaleno de área 7. Sea A₁ un punto del lado BC y sean B₁ y C₁ en las rectas AC y AB respectivamente, tales que AA₁, BB₁ y CC₁ son paralelas. Hallar el área del triángulo A₁B₁C₁.

4. La familia Alvarez, la familia Benítez y el matrimonio Cáceres almorzaron en la misma parrilla. Los Alvarez, que comieron 3 bifes, 2 ensaladas y 5 gaseosas, gastaron $53. Los Benítez, que comieron 5 bifes, 3 ensaladas y 9 gaseosas, gastaron $91.
¿Cuánto gastaron los Cáceres que comieron, entre los dos, 1 bife, 1 ensalada y 1 gaseosa?

5. A cada dígito 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 le corresponde una letra distinta. Hallar los números ABACDE, CAFDG, CHHBAED si se sabe que son las longitudes de los lados de un triángulo.
ACLARACIÓN: Es sabido que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.

6. ¿Se puede dividir dos hexágonos regulares iguales en 6 partes cada uno y formar con los 12 pedazos 3 estrellas iguales (de seis puntas, regulares) sin agujeros ni superposiciones?

1. Se tienen 17 cartas rojas, numeradas de 1 a 17 y 17 cartas blancas, numeradas de 1 a 17. Formar 17 pares de 1 carta roja y 1 carta blanca tales que las sumas de los 17 pares sean 17 números consecutivos.

2. ¿Es posible escribir los 11 números desde 1985 hasta 1995 en algún orden de modo que el número de 44 cifras que se obtiene resulte primo?

3. Dado un triángulo ABC, con BC < AC, sea K el punto medio de AB y L el punto del lado AC tal que AL=LC+CB. Demostrar que si KLB=90^o entonces AC=3.CB y recíprocamente, si AC=3. CB entonces KLB=90^o.

4. En cada casilla de un tablero de n x n (n4) se coloca un número de modo tal que cada número colocado resulte ser el promedio de dos de los números que están en casillas lindantes (es decir, que comparten un lado con dicha casilla).
¿Cuál es la máxima cantidad de números distintos que pueden aparecer en el tablero?

5. Sean una circunferencia de centro O y un paralelogramo ABCD tales que A,B y C pertenecen a la circunferencia y O pertenece al lado AD. Las rectas AD, CD y BO cortan nuevamente a la circunferencia en K, M, N respectivamente. Demostrar que los segmentos NK, NM y ND son iguales entre sí.

6. Demostrar que entre 50 números enteros positivos menores o iguales que 100 siempre se pueden elegir algunos (eventualmente uno solo) de modo que su suma sea un cuadrado perfecto.

1. A₀A₁...A_n es un polígono regular de n+1 vértices (n>2). Inicialmente se colocan n piedras en el vértice A₀. En cada operación permitida se mueven simultáneamente 2 piedras, a elección del jugador: cada piedra se traslada desde el vértice en el que se encuentra hasta uno de los 2 vértices adyacentes. Hallar todos los valores de n para los cuales es posible tener, después de una sucesión de operaciones permitidas, una piedra en cada uno de los vértices A₁,A₂,... ,A_n.
ACLARACION: Las dos piedras que se mueven en una operación permitida pueden estar en el mismo vértice o en vértices distintos.

2. Para cada entero positivo n sea p(n) el número de pares ordenados (x,y) de enteros positivos tales que

1/x + 1/y = 1/n

Por ejemplo, para n=2 los pares son (3,6), (4,4), (6,3). Por lo tanto p(2)=3.

1. Determinar p(n) para todo n y calcular p(1995).
2. Determinar todos los pares n tales que p(n)=3.

3. Sea ABCD un paralelogramo y P un punto tal que

2 PDA = ABP  y  2 PAD = PCD.

Demostrar que AB = BP = CP.

4. Hallar el menor número natural que es suma de 9 naturales consecutivos, es suma de 10 naturales consecutivos y además es suma de 11 naturales consecutivos.

5. Sean a,b números reales tales que la ecuación

x³ +(a-1).x² - 6.a.x + b = 0

tiene tres raíces reales. Demostrar que |b||a+1|³.
ACLARACION: |x| indica el valor absoluto de x. Por ejemplo, |5| = 5 ; |-1,23| = 1,23, etc.

6. Se marcan los 27 puntos (a,b,c) del espacio tales que a, b y c toman los valores 0, 1 o 2. A estos puntos los llamaremos "coyunturas".
Utilizando 54 varillas de longitud 1 se unen entre sí todas las coyunturas que están a distancia 1. Queda así formada una estructura cúbica de 2 x 2 x 2. Una hormiga parte de una coyuntura A y avanza a lo largo de las varillas; cuando llega a una coyuntura gira 90 grados y cambia de varilla.
Si la hormiga regresa a A y no ha visitado más de una vez ninguna coyuntura excepto A, a la que visitó 2 veces, al iniciar el paseo y al finalizarlo, ¿cuál es la mayor longitud que puede tener el recorrido de la hormiga?

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