6° Olimpíada Metropolitana. 2004
Primer Nivel
Problema 1
En el registro de las temperaturas máximas diarias en la Base Primavera desde el 1º de diciembre hasta el 31 de enero se observa que cada día, excepto el primero y el último, la temperatura máxima es igual a la suma de la máxima del día anterior más la máxima del día siguiente.
La máxima del 3 de diciembre fue 3º y la máxima del 31 de enero fue 5º. Hallar la temperatura máxima del 25 de diciembre.
Problema 2
Un reloj digital muestra, utilizando cuatro dígitos, todas las posibles horas entre 00:00 y 23:59. Los dígitos del reloj son como los de la figura:
Frente al reloj se coloca un espejo. Hallar la cantidad de veces en las que la imagen del reloj en el espejo muestra algún número de cuatro dígitos que es una hora posible.
ACLARACIÓN: Los dígitos 0, 1, 2, 5, 8 se reflejan respectivamente en 0, 1, 5, 2, 8. Los demás dígitos al reflejarse dejan de tener significado.
Problema 3
Se tienen dos piezas de cartulina del mismo tamaño con forma de hexágono regular. Dividir cada hexágono en tres pedazos mediante dos cortes rectos de modo que con los 6 pedazos se pueda armar, sin huecos ni superposiciones, un triángulo equilátero.
Explicar porqué al reacomodar convenientemente los 6 pedazos se obtiene efectivamente un triángulo equilátero.
Segundo Nivel
Problema 1
Hallar la cantidad de números capicúas de 5 cifras que son múltiplos de 101.
ACLARACIÓN: Un número es capicúa si se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, por ejemplo, 13531 o 22022.
Problema 2
Hay que elegir 9 números enteros positivos distintos y escribir 4 de ellos en azul y los otros 5 en rojo. A continuación, se deben formar todas las fracciones posibles de un número azul sobre uno rojo (son 20 fracciones). El objetivo es que entre esas fracciones haya la menor cantidad posible de números distintos. Determinar cuál es esa cantidad mínima y dar un ejemplo con una posible elección de los números azules y rojos.
Problema 3
Se tiene un triángulo isósceles de papel que tiene el ángulo desigual de 45o. Dividir el triángulo en tres pedazos S, T y U de manera que con S y T se arme un triángulo isósceles, sin huecos ni superposiciones, y lo mismo ocurra con S y U y con T y U.
Explicar por qué al reacomodar convenientemente cada par de pedazos se obtiene efectivamente un triángulo isósceles.
ACLARACIÓN: Los pedazos S, T y U se pueden dar vuelta.
Tercer Nivel
Problema 1.
Sea ABC un triángulo rectángulo en A y M, N puntos del lado BC tales que BM=MN=CN. Si AM=3 y AN=2, calcular la medida de MN.
Problema 2.
Hallar todos los pares de enteros positivos distintos a y b que tienen la misma cantidad de dígitos y el número que se obtiene al escribir b a continuación de a es divisible por el número que se obtiene al escribir a a continuación de b.
Problema 3.
En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a n. La operación permitida es borrar dos números, a y b, y escribir uno de los siguientes tres números: a+b, a-5b ó 7a-11b.
El objetivo es que, al cabo de n-1 operaciones permitidas el único número que quede en el pizarrón sea el 0.
Determinar para qué valores de n es posible lograr el objetivo.
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