VII Olimpíada de Mayo

Mayo de 2001

Primer Nivel

PROBLEMA 1

Sara escribió en el pizarrón un número entero de menos de treinta cifras y que termina en 2.

Celia borra el 2 del final y lo escribe al principio.

El número que queda escrito es igual al doble del número que había escrito Sara.

¿Qué número escribió Sara?

PROBLEMA 2

Tomamos un rectángulo ABCD de papel; el lado AB mide 5 cm y el lado BC mide 9 cm. Le hacemos tres pliegues:

1. Llevamos el lado AB sobre el lado BC y denominamos P al punto del lado BC que coincide con A. Se forma entonces un trapecio rectángulo BCDQ.
2. Doblamos de manera que B y Q coincidan. Se forma un polígono de 5 lados RPCDQ.
3. Doblamos de nuevo naciendo coincidir D con C y Q con P. Se forma un nuevo trapecio rectángulo RPCS.

Luego de estos pliegues, hacemos un corte perpendicular a SC por su punto medio T y queda el trapecio rectángulo RUTS. Calcula el área de la figura que aparece al desplegar el último trapecio RUTS.

PROBLEMA 3

Se tienen tres cajas, una azul, una blanca y una roja, y 8 bolillas. Cada una de las bolillas tiene escrito un número del 1 al 8, sin repeticiones. Se distribuyen las 8 bolillas en las cajas, de modo que haya por lo menos dos bolillas en cada caja. Luego, en cada caja, se suman todos los números escritos en las bolillas que contiene. Los tres resultados se denominan suma azul, suma blanca y suma roja, según el color de la caja correspondiente. Halla todas las posibles distribuciones de las bolillas tales que la suma roja sea igual al doble de la suma azul, y la suma roja menos la suma blanca sea igual a la suma blanca menos la suma azul.

PROBLEMA 4

Utilizando exclusivamente números primos se forma un conjunto con las siguientes condiciones:

1. Cualquier número primo de una cifra puede estar en el conjunto.
2. Para que un número primo de más de una cifra esté en el conjunto, deben estar en el conjunto el número que resulta de suprimirle sólo la primera cifra y también el número que resulta de suprimirle sólo la última cifra.

Escribe, de los conjuntos que cumplen estas condiciones, el que tiene mayor cantidad de elementos.

Justifica por qué no puede haber uno con más elementos.

Recuerda que el número 1 no es primo.

PROBLEMA 5

En un tablero de 8 casillas -como el de la figura- hay inicialmente una ficha en cada casilla.

Una jugada consiste en elegir dos fichas y mover una de ellas una casilla hacia la derecha y la otra, una casilla hacia la izquierda.

Si después de 4 jugadas las 8 fichas están distribuidas en sólo 2 casillas, determina cuáles pueden ser esas casillas y cuántas fichas hay en cada una.

Segundo Nivel

PROBLEMA 1

En mi calculadora una de las teclas del 1 al 9 funciona mal: al apretarla aparece en pantalla un dígito entre 1 y 9 que no es el que corresponde.

Cuando traté de escribir el número 987654321, apareció en la pantalla un número divisible por 11 y que deja resto 3 al dividirlo por 9.

¿Cuál es la tecla descompuesta? ¿Cuál es el número que apareció en la pantalla?

PROBLEMA 2

En el trapecio ABCD, el lado DA es perpendicular a las bases AB y CD. La base AB mide 45, la base CD mide 20 y el lado BC mide 65. Sea P en el lado BC tal que BP mide 45 y sea M el punto medio de DA.

Calcula la medida del segmento PM.

PROBLEMA 3

En un tablero de 3 filas y 555 columnas, se colorean de rojo 3 casillas, una en cada una de las 3 filas.

Si se escriben en las casillas, ordenadamente por filas, de izquierda a derecha, los números del 1 al 1665 (en la primera fila del 1 al 555, en la segunda del 556 al 1110 y en la tercera del 1111 al 1665) hay 3 números que quedan escritos en casillas rojas.

Si se escriben en las casillas, ordenadamente por columnas, de arriba hacia abajo, los números del 1 al 1665 (en la primera columna del 1 al 3, en la segunda del 4 al 6, en la tercera del 7 al 9,..., y en la última del 1663 al 1665) hay 3 números que quedan escritos en casillas rojas.

Llamamos números rojos a los que en alguna de las dos distribuciones quedan escritos en casillas rojas.

Indica cuáles son las 3 casillas que hay que colorear de rojo para que sólo haya 3 números rojos.

Muestra todas las posibilidades.

PROBLEMA 4

Alrededor de un círculo se ubican diez monedas de 1 cm de radio como se indica en la figura. Cada moneda es tangente al círculo y a sus dos monedas vecinas.

Demuestra que la suma de las áreas de las diez monedas es el doble del área del círculo.

PROBLEMA 5

En el pizarrón están escritos los números naturales desde 1 hasta 2001 inclusive. Hay que borrar algunos números de modo que entre los que quedan sin borrar sea imposible elegir dos números distintos tales que el resultado de su multiplicación sea igual a alguno de los números que quedan sin borrar. ¿Cuál es la mínima cantidad de números que se deben borrar? Para dicha cantidad, presenta un ejemplo que muestre qué números se borran. Justifica por qué, si se borran menos números, no se tiene la propiedad deseada.

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