VI Olimpíada de Mayo

13 de Mayo de 2000

1

Hallar todos los números naturales de cuatro cifras formados por dos dígitos pares y dos dígitos impares que verifican que al multiplicarlos por 2 se obtienen números de cuatro cifras con todos sus dígitos pares y al dividirlos por 2 se obtienen números naturales de cuatro cifras con todos sus dígitos impares.

2

Sea ABC un triángulo rectángulo en A, cuyo cateto mide 1cm. La bisectriz del ángulo BAC corta a la hipotenusa en R; la perpendicular a AR trazada por R, corta al lado AB en su punto medio. Hallar la medida del lado AB.

3

Para escribir todos los números naturales consecutivos desde 1ab hasta ab2 inclusive se han empleado 1ab1 cifras. Determinar cuántas cifras más se necesitan para escribir los número naturales hasta el aab inclusive. Dar todas las posibilidades. (a y b representan dígitos)

4

Se tienen piezas con forma de triángulo equilátero de lados 1; 2; 3; 4; 5 y 6 (50 piezas de cada tamaño). Se quiere armar un triángulo equilátero de lado 7 utilizando algunas de esas piezas, sin huevos ni superposiciones. ¿Cuál es el menor número de piezas necesarias?

5

En una hilera hay 12 naipes que pueden ser de tres clases: con sus dos caras blancas, con sus dos caras negras o con una cara blanca y la otra negra.

Inicialmente hay 9 naipes con el lado negro hacia arriba.

Se dan vuelta los seis primeros naipes de la izquierda y quedan 9 naipes con la cara negra hacia arriba.

A continuación se dan vuelta los seis naipes de la izquierda y quedan así 8 naipes con la cara negra hacia arriba.

Finalmente se dan vuelta seis naipes: los tres primeros de la izquierda y los tres últimos de la derecha, y quedan así 3 naipes con la cara negra hacia arriba.

Decidir si con esta información se puede saber con certeza cuántos naipes de cada clase hay en la hilera

1

El conjunto {1, 2, 3, 4} puede ser partido en dos subconjuntos A = {1, 4} y B = {3, 2} sin elementos comunes y tales que la suma de los elementos de A es igual a la suma de los elementos de B. Una tal partición es imposible para el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} y también para el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Determinar todos los valores de n para los que el conjunto de los primeros n números naturales puede ser partido en dos subconjuntos sin elementos comunes tales que la suma de los elementos de cada subconjunto sea la misma.

2

En un paralelogramo de área 1 se trazan las rectas que unen cada vértice con el punto medio de cada lado no adyacente a él. Las ocho rectas trazadas determinan un octógono en el interior del paralelogramo. Calcular el área de dicho octógono.

3

Sean S una circunferencia de radio 2; S₁ una circunferencia de radio 1 tangente interiormente a S en B y S₂ una circunferencia de radio 1 tangente a S₁ en el punto A pero que no es tangente a S. Si K es el punto de intersección de la recta AB con la circunferencia S, demostrar que K pertenece a la circunferencia S₂.

4

Se tiene un cubo de 3 x 3 x 3 formado por la unión de 27 cubitos de 1 x 1 x 1. Se retiran algunos cubitos de tal modo que los que permanecen siguen formando un sólido constituido por cubitos que están unidos por lo menos por una cara al resto del sólido. Cuando se retira un cubito los que permanecen lo hacen en el mismo lugar en que estaban. ¿Cuál es el máximo número de cubitos que se pueden retirar de modo que el área del sólido que resulta sea igual al área del cubo original?

5

Un rectángulo se puede dividir en n cuadrados iguales y también se puede dividir en n + 98 cuadrados iguales. Si el área del rectángulo es n, con n entero, hallar los lados del rectángulo. Dar todas las posibilidades.

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