V Olimpíada de Mayo

8 de Mayo de 1999

1

Se eligen dos números enteros entre 1 y 100 inclusive tales que su diferencia es 7 y su producto es múltiplo de 5.
¿ De cuántas maneras se puede hacer esta elección?

2

En un paralelogramo ABCD, BD es la diagonal mayor.
Al hacer coincidir B con D mediante un doblez se forma un pentágono regular.
Calcular las medidas de los ángulos que forma la diagonal BD con cada uno de los lados del paralelogramo.

3

En cada escalón de una escalera de 10 peldaños hay una rana.
Cada una de ellas puede, de un salto, colocarse en otro escalón, pero cuando lo hace, al mismo tiempo, otra rana saltará la misma cantidad de escalones en sentido opuesto: una sube y otra baja. ¿Conseguirán las ranas colocarse todas juntas en un mismo escalón?

4

Diez cartones cuadrados de 3 centímetros de lado se cortan por una línea, como indica la figura.
Luego de los cortes se tienen 20 piezas: 10 triángulos y 10 trapecios. Armar un cuadrado que utilice las 20 piezas sin superposiciones ni huecos.

5

Ana, Beatriz, Carlos, Diego y Emilia juegan un torneo de ajedrez.
Cada jugador se enfrenta una sola vez con cada uno de los otros cuatro.
Cada jugador se anota 2 puntos si gana el partido, 1 punto si empata y 0 punto si pierde.
Al final del torneo, resulta que las puntuaciones de los 5 jugadores son todas distintas.
Hallar el máximo número de empates que pudo haber en el torneo y justificar por qué no pudo haber un número mayor de empates.

1

Un número natural de tres cifras se llama tricúbico si es igual a la suma de los cubos de sus dígitos.
Hallar todas las parejas de números consecutivos tales que ambos sean tricúbicos.

2

La figura representa la cuarta parte de un círculo de radio 1.
En el arco AB, se consideran dos puntos P y Q de forma tal que la recta PQ es paralela a la recta AB.
Sean X e Y los puntos de intersección de la recta PQ con las rectas OA y OB respectivamente.
Calcular PX ² + PY ²

3

La primera fila de esta tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden.
La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden.
En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba.
¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas?

4

Sea ABC un triángulo equilátero. M es el punto medio del segmento AB y N es el punto medio del segmento BC.
Sea P el punto exterior a ABC tal que el triángulo ACP es isósceles rectángulo en P.
PM y AN se cortan en I.
Probar que CI es la bisectriz del ángulo MCA.

5

Se tienen 12 puntos que son vértices de un polígono regular de 12 lados. Rafael debe trazar segmentos que tengan sus dos extremos en dos de los puntos dibujados.
Tiene permitido que cada punto sea extremo de más de un segmento y que los segmentos se crucen, pero tiene prohibido trazar tres segmentos que sean los tres lados de un triángulo en el que cada vértice es uno de los 12 puntos iniciales.
Hallar el máximo número de segmentos que puede trazar Rafael y justificar por qué no puede trazar un número mayor de segmentos.

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