IV Olimpíada de Mayo

9 de Mayo de 1998

1

Con seis varillas se construye una pieza como la de la figura.
Las tres varillas exteriores son iguales entre sí. Las tres varillas interiores son iguales entre sí.
Se desea pintar cada varilla de un solo color de modo que en cada punto de unión, las tres varillas que llegan tengan distinto color.
Las varillas sólo se pueden pintar de azul, blanco, rojo o verde.
¿ De cuántas maneras se puede pintar la pieza?

2

Se tienen 1998 piezas rectangulares de 2 cm de ancho y 3 cm de largo y con ellas se arman cuadrados (sin superposiciones ni huecos). ¿Cuál es la mayor cantidad de cuadrados diferentes que se pueden tener al mismo tiempo?

3

Hay cuatro botes en una de las orillas del río; sus nombres son Ocho, Cuatro, Dos y Uno, porque esa es la cantidad de horas que tarda cada uno de ellos en cruzar el río. Se puede atar un bote a otro, pero no más de uno, y entonces el tiempo que tardan en cruzar es igual al del más lento de los dos botes. Un solo marinero debe llevar todos los botes a la otra orilla. ¿Cuál es la menor cantidad de tiempo que necesita para completar el traslado?

4 ABCD es un cuadrado de centro O. Sobre los lados DC y AD se han construido los triángulos equiláteros DAF y DCE. Decide si el área del triángulo EDF es mayor, menor o igual que el área del triángulo DOC.

5

Elige un número de cuatro cifras (ninguna de ellas cero) y comenzando con él construye una lista de 21 números distintos, de cuatro cifras cada uno, que cumpla la siguiente regla: después de escribir cada nuevo número en la lista se calculan todos los promedios entre dos cifras de ese número, se descartan aquellos promedios que no dan un número entero, y con los restantes se forma un número de cuatro cifras que ocupará el siguiente lugar en la lista. Por ejemplo, si en la lista se escribió el 2946, el siguiente puede ser 3333 ó 3434 ó 5345 ó cualquier otro número armado con las cifras 3, 4 ó 5.

1

Inés eligió cuatro dígitos distintos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Formó con ellos todos los posibles números de cuatro cifras distintas y sumó todos esos números de cuatro cifras. El resultado es 193314. Halla los cuatro dígitos que eligió Inés.

2

ABC es un triángulo equilátero. N es un punto del lado AC tal que , M es un punto del lado AB tal que MN es paralela a BC y P es un punto del lado BC tal que MP es paralela a AC. Halla la fracción .

3

Dado un tablero cuadriculado de 4 x 4 con cada casilla pintada de un color distinto, se desea cortarlo en dos pedazos de igual área mediante un solo corte que siga las líneas de la cuadrícula. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

4

En el piso del patio hay dibujado un octógono regular.
Emiliano escribe en los vértices los números del 1 al 8 en cualquier orden. Pone una piedra en el punto 1.
Camina hacia el punto 2, habiendo recorrido 1/2 del camino se detiene y deja la segunda piedra.
Desde allí camina hacia el punto 3, habiendo recorrido 1/3 del camino se detiene y deja la tercera piedra.
Desde allí camina hacia el punto 4, habiendo recorrido 1/4 del camino se detiene y deja la cuarta piedra.
Así sigue hasta que, después de dejar la séptima piedra, camina hacia el punto 8 y habiendo recorrido 1/8 del camino deja la octava piedra.
La cantidad de piedras que quedan en el centro del octógono depende del orden en que escribió los números en los vértices.
¿Cuál es la mayor cantidad de piedras que pueden quedar en dicho centro?

5

En el planeta X31 hay sólo dos tipos de billetes, sin embargo el sistema no es tan malo porque hay solamente quince precios enteros que no se pueden pagar exactamente (se paga de más y se recibe cambio). Si 18 es uno de esos precios que no se pueden pagar exactamente, halla el valor de cada tipo de billete.

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