PROBLEMA 1
Un recipiente
cerrado con forma de paralelepípedo rectángulo contiene 1 litro de agua. Si el
recipiente se apoya horizontalmente sobre tres caras distintas, el nivel del
agua es de 2 cm, 4 cm y 5 cm. Calcula el volumen del paralelepípedo.
PROBLEMA 2
En la etapa 0
se escriben los números: 1 , 1.
En la etapa 1
se intercala la suma de los números: 1, 2 , 1.
En la etapa 2
entre cada par de números de la etapa anterior se intercala la suma de ellos:
1, 3, 2, 3, 1.
Una etapa más:
1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1.
¿Cuántos
números hay en la etapa 10?
¿Cuál es la
suma de todos los números que hay en la etapa 10?
PROBLEMA 3
¿Es posible
colorear los enteros positivos con tres colores de modo que siempre que se suman
dos números de colores distintos, el resultado de su suma sea del tercer color?
(Hay que usar los tres colores.) Si la respuesta es afirmativa, indica un
posible coloreo; si no, explica el porqué.
PROBLEMA 4
Halla todos
los números naturales de 90 dígitos que son múltiplos de 13 y tienen los
primeros 43 dígitos iguales entre sí y distintos de cero, los últimos 43 dígitos
iguales entre sí, y los 4 dígitos del medio son 2, 0, 1, 0, en ese orden.
PROBLEMA 5
En
un tablero de 2x7 cuadriculado en cuadritos de 1x1 se consideran los 24 puntos
que son vértices de los cuadritos. Juan y Matías juegan sobre este tablero. Juan
pinta de rojo igual cantidad de puntos en cada una de las tres líneas
horizontales. Si Matías puede elegir tres puntos rojos que sean vértices de un
triángulo acutángulo, Matías gana el juego. ¿Cuál es la máxima cantidad de
puntos que puede colorear Juan para asegurarse de que Matías no gane? (Para el
número hallado, da un ejemplo de coloreo que le impida ganar a Matías y
justifica por qué si el número es mayor, Matías siempre puede ganar.)
