15° Olimpíada de Mayo
9 de Mayo de 2009
| primer nivel |
PROBLEMA 1
A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: Se multiplican sus cifras. Si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras se multiplican estas dos cifras, y si el resultado es un dígito, éste es el dígito asignado. En caso contrario, se repite la operación. Por ejemplo el dígito asignado a 32 es el 6 pues 3 × 2 = 6; el dígito asignado a 93 es el 4 pues 9 × 3 = 27, 2 × 7 = 14, 1 × 4 = 4.
Halla todos los números de dos cifras a los que se les asigna el 8.
PROBLEMA 2
Encuentra números primos p , q , r para los cuales sea
. Da todas las posibilidades.
Recuerda que el número 1 no es primo.
PROBLEMA 3
Se tienen 26 tarjetas y cada una tiene escrito un número. Hay dos con el 1, dos con el 2, dos con el 3, y así siguiendo hasta dos con el 12 y dos con el 13. Hay que distribuir las 26 tarjetas en pilas de manera que se cumplan las dos condiciones siguientes:
Determina cuál es el mínimo número de pilas que hay que hacer. Da un ejemplo con la distribución de las tarjetas para ese número de pilas y justifica por qué es imposible tener menos pilas.
ACLARACIÓN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
PROBLEMA 4
Tres circunferencias son tangentes entre sí, tal y como se muestra en la figura.
La región del círculo exterior que no está cubierta por los dos círculos interiores tiene área igual a 2 p .
Determina la longitud del segmento PQ .
PROBLEMA 5
Por las líneas de una cuadrícula formada por 55 líneas horizontales y 45 líneas verticales camina una hormiga. Se quiere pintar algunos tramos de líneas para que la hormiga pueda ir de cualquier cruce hasta cualquier otro cruce, caminando exclusivamente por tramos pintados. Si la distancia entre líneas consecutivas es de 10 cm , ¿cuál es la menor cantidad posible de centímetros que se deberán pintar? correcto de mayor valor.
| segundo nivel |
PROBLEMA 1
Inicialmente en el pizarrón está escrito el número 1. En cada paso, se borra el número del pizarrón y se escribe otro, que se obtiene aplicando una cualquiera de las siguientes operaciones:
. Por ejemplo, si en el pizarrón está el número 
se lo puede reemplazar por 
o por 
.
Da una secuencia de pasos al cabo de los cuales el número del pizarrón sea 
.
PROBLEMA 2
Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que el triángulo ABD es equilátero y el triángulo BCD es isósceles, con 
. Si E es el punto medio del lado AD , calcula la medida del ángulo 
.
PROBLEMA 3
En la siguiente suma: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, si suprimimos los dos primeros signos “+” obtenemos la nueva suma 123 + 4 + 5 + 6 = 138. Suprimiendo tres signos “+” podemos obtener 1 + 23 + 456 = 480.
Consideremos ahora la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13, en la que se van a suprimir algunos signos “+”. ¿Cuáles son los tres menores múltiplos de 100 que podemos obtener de esta forma?
PROBLEMA 4
Cada casilla de un tablero de 5×5 se pinta de rojo o de azul, de tal forma que se cumple la siguiente condición: “Para cualesquiera dos filas y dos columnas, de las 4 casillas que están en sus intersecciones, hay 4, 2 ó 0 pintadas de rojo.” ¿De cuántas formas se puede pintar el tablero?
PROBLEMA 5
Un solitario se inicia con 25 cartas en fila. Algunas están boca arriba, y otras boca abajo.
En cada movimiento se debe elegir una carta que esté boca arriba, retirarla, y dar vuelta las cartas vecinas a la que se retiró (si las hay).
El solitario se gana cuando se logra, repitiendo este movimiento, retirar las 25 cartas de la mesa.
Si inicialmente hay n cartas boca arriba, halla todos los valores de n para los cuales se puede ganar el solitario. Explica cómo se gana, independientemente de la ubicación inicial de las cartas boca arriba, y justifica por qué es imposible ganar para los otros valores de n .
Dos cartas son vecinas cuando una está inmediatamente al lado de otra, a la derecha o a la izquierda.
Por ejemplo: la carta marcada con A tiene dos cartas vecinas y la marcada con B una sola. Después de retirar una carta queda un hueco, de modo que la marcada con C tiene únicamente una carta vecina, y la marcada con D no tiene ninguna.
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