XII Olimpíada de Mayo

Mayo de 2006

Un calendario digital exhibe la fecha: día, mes y año, con 2 dígitos para el día, 2 dígitos para el mes y 2 dígitos para el año. Por ejemplo, 01-01-01 es el primero de enero de 2001 y 25-05-23 es el 25 de mayo de 2023. Frente al calendario hay un espejo. Los dígitos del calendario son como los de la figura

Si 0, 1, 2, 5 y 8 se reflejan, respectivamente, en 0, 1, 5, 2 y 8, y los demás dígitos pierden sentido al reflejarse, determinar cuántos días del siglo, al reflejarse en el espejo, también corresponden a una fecha.

PROBLEMA 2

Un rectángulo de papel de 3 cm por 9 cm se dobla a lo largo de una recta, haciendo coincidir dos vértices opuestos. De este modo se forma un pentágono. Calcular su área.

PROBLEMA 3

Hay 20 puntos alineados, separados por una misma distancia:

Miguel tiene que pintar de rojo tres o más de estos puntos, de manera tal que los puntos rojos estén separados por una misma distancia y sea imposible pintar de rojo exactamente un punto más sin violar la condición anterior. Determinar de cuántas maneras puede Miguel hacer su tarea.

PROBLEMA 4

Con 150 cubitos blancos de 1 ´ 1 ´ 1 se arma un prisma de 6 ´ 5 ´ 5, se pintan sus seis caras de azul y luego se desarma el prisma. Lucrecia debe armar un nuevo prisma, sin huecos, usando exclusivamente cubitos que tengan al menos una cara azul y de modo que las caras del prisma de Lucrecia sean todas completamente azules.

Dar las dimensiones del prisma de mayor volumen que puede armar Lucrecia.

PROBLEMA 5

En algunas casillas de un tablero de 10 ´ 10 se coloca una ficha de manera que se cumpla la siguiente propiedad: Para cada casilla que tiene una ficha, la cantidad de fichas colocadas en su misma fila debe ser mayor o igual que la cantidad de fichas colocadas en su misma columna.

¿Cuántas fichas puede haber en el tablero?

Dar todas las posibilidades.

Determinar todas las parejas de números naturales a y b tales que son números naturales.

PROBLEMA 2

En el pizarrón están escritos varios números primos (algunos repetidos). Mauro sumó los números del pizarrón y Fernando multiplicó los números del pizarrón. El resultado que obtuvo Fernando es igual a 40 veces el resultado que obtuvo Mauro. Determinar cuáles pueden ser los números del pizarrón.

Dar todas las posibilidades.

PROBLEMA 3

Escribir un número entero positivo en cada casilla de modo que:

Los seis números sean distintos.

La suma de los seis números sea 100.

Si se multiplica cada número por su vecino (en el sentido de las agujas del reloj) y se suman los seis resultados de esas seis multiplicaciones, se obtenga el menor valor posible.

Explicar por qué no se puede obtener un valor menor.

PROBLEMA 4

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD . Sea O el punto de intersección de sus diagonales AC y BD . Si el área del triángulo ABC es 150 y el área del triángulo ACD es 120, calcular el área del triángulo BCO .

PROBLEMA 5

Con 28 puntos se forma una “rejilla triangular” de lados iguales, como se muestra en la figura.

Una operación consiste en elegir tres puntos que sean los vértices de un triángulo equilátero y retirar estos tres puntos de la rejilla. Si luego de realizar varias de estas operaciones queda solamente un punto, ¿en qué posiciones puede quedar dicho punto?

Dar todas las posibilidades e indicar en cada caso las operaciones realizadas.

Justificar por qué el punto que queda no puede estar en otra posición.

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