52° Olimpíada
Internacional de Matemática
Prueba de Selección
27 y 28 de abril de 2011
PRIMER DIA
1.
Se colorea cada número del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} de rojo o de
azul, de acuerdo con las siguientes reglas:
El 4 se colorea de rojo y por lo menos uno de los otros números se
colorea de azul.
Si dos números x, y se colorean de distinto color y
x + y £ 8, entonces el
número x + y se colorea de azul.
Si dos
números x, y se colorean de distinto color y x
× y
£ 8, entonces el número x
× y se colorea de rojo.
Hallar todas las coloraciones posibles con estas reglas.
2. Un mago secuestra a 31 miembros del partido A,
28 miembros del partido B, 23 miembros del partido C y 19 miembros
del partido D y los tiene separados en habitaciones individuales de su
castillo, donde los hace trabajar. Cada día, después del trabajo, los
secuestrados pueden caminar por el parque y conversar entre si. Pero cuando tres
miembros de tres partidos distintos comienzan a conversar entre ellos, el mago
los reconvierte a los tres al cuarto partido. (Jamás conversan entre si más de
tres de los secuestrados.)
a) Determinar si es posible que al cabo
de algún tiempo todos los secuestrados sean miembros de un mismo partido, y en
caso afirmativo, establecer de qué partido.
b) Hallar todas las cuaternas de números
enteros positivos con suma igual a 101 que admiten, al ser considerados como
números de miembros secuestrados de cuatro
partidos, que al cabo de algún tiempo se
conviertan en miembros del mismo partido mediante el procedimiento del mago.
3. Sea ABCD un trapecio de bases BC
AD,
con AD > BC, y lados no paralelos AB y CD. Llamamos
M al punto de intersección de AC y BD. La circunferencia
G1 pasa por M y es
tangente a la recta AD en A; la circunferencia
G2 pasa por M y es
tangente a la recta AD en D. Sean S el punto de
intersección de las rectas AB y DC, X el punto de
intersección de la circunferencia G1
y la recta AS, Y el punto de intersección de la circunferencia
G2 y la recta DS, y
O el circuncentro del triángulo ASD.
Demostrar que SO ^ XY.
ACLARACIÓN: El circuncentro del triángulo ASD es el centro de la
circunferencia que pasa por A, S y D. Es el punto de
intersección de las mediatrices del triángulo.
SEGUNDO DIA
4.
Hallar todos los números enteros positivos n tales que el número
tiene
como mucho 15 divisores positivos.
5. En un torneo de tenis participan por lo menos 3 jugadores. Cada uno juega
exactamente un partido contra cada uno de los demás. Además, cada jugador gana
al menos uno de los partidos que juega. (En tenis no hay empates.)
Demostrar que en el torneo hay tres jugadores (al menos) A, B y
C tales que A le gana a B, B le gana a C y C
le gana a A.
6. Cada casilla de un
tablero de n ´ n se
colorea de rojo o de azul de modo que entre todos los cuadrados de 2
´ 2 de este tablero se encuentren
presentes todas las posibles coloraciones de cuadrados de 2
´ 2 con rojo y azul (coloraciones que
se obtienen una de otra por rotación o reflexión se consideran distintas).
a) Hallar el menor valor posible de n.
b) Para ese valor mínimo de n, hallar el menor valor posible de cuadrados
rojos.
