50° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

14 y 15 de mayo de 2009

PRIMER DIA

 1. En un tablero cuadrado de 50 ´ 50 se marcan los centros de varias casillas de modo que no haya tres puntos marcados que sean los vértices de un triángulo rectángulo. ¿Cuál es el máximo número de centros que puede haber marcados?

2. Se numeran las casillas de un tablero de 1 ´ 300 del 1 al 300, de izquierda a derecha. Germán escribe en cada casilla un número real mayor o igual que 0 de modo que la suma de los 300 números sea igual a 1 (puede haber números repetidos).
A continuación, para cada par de casillas distintas tales que los números que recibieron en la numeración inicial son uno múltiplo del otro, se multiplican los 2 números que escribió Germán en esas casillas.
Determinar el mayor valor que puede tener la suma de los resultados de todas estas multiplicaciones.

3. Sea ABC un triángulo, B₁ el punto medio del lado AB y C₁ el punto medio del lado AC. Sea P el punto de intersección (¹ A) de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC₁ y AB₁C. Sea Q el punto de intersección (¹ A) de la recta AP y la circunferencia circunscrita al triángulo AB₁C₁. Demostrar que .

ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita al triángulo XYZ es la que pasa por los tres vértices X, Y, Z.

SEGUNDO DIA

 4. Hallar todos los enteros positivos n tales que  es divisible por 309.

5. Diremos que dos personas A y B son conocidos indirectos si existen personas  tales que A conoce a ,  conoce a ,  conoce a , y así siguiendo, hasta que  conoce a B. En particular, si A conoce a B entonces A y B son conocidos indirectos. Entre los participantes de una olimpíada matemática algunos ya se conocían antes de la olimpíada. Durante la olimpíada algunos hacen nuevos conocidos, de modo que al finalizar la olimpíada, cada participante tiene al menos un conocido entre los participantes. Diremos que un participante es especial si el número de sus conocidos indirectos al finalizar la olimpíada es exactamente el doble que el de antes de la olimpíada.
Demostrar que el número de participantes especiales es menor o igual que 2/3 del número total  de participantes.
ACLARACIÓN: Si A conoce a B entonces B conoce a A.

6. Sea n ≥ 3 un entero impar y sea [– n , n] el conjunto de los enteros mayores o iguales que – n y menores o iguales que n. Fede elige un número entero positivo k; a continuación Nico elige un subconjunto de [– n , n] con exactamente k elementos (distintos). Si todos los números de [– n , n] se pueden expresar como suma de n elementos distintos del conjunto elegido por Nico, gana Fede. En caso contrario, gana Nico.
Determinar el menor valor de k tal que Fede gana, no importa lo bien que juegue Nico.
 

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