49° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

8 y 9 de mayo de 2008

PRIMER DIA

1. En los vértices de un polígono regular de 100 lados se distribuyen en algún orden los números  enteros del 1 al 100, sin repeticiones. Diremos que una distribución es pareja si, para cada eje de simetría del polígono, todos los números que están a uno de los lados de ese eje son mayores que sus respectivos simétricos con respecto al eje de simetría considerado. (No se tienen en cuenta los números que están sobre el eje de simetría.) Determinar todas las distribuciones parejas. Dos distribuciones que se obtienen una de la otra mediante una rotación alrededor del centro del polígono se consideran la misma distribución.

2. El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia G. Una cuerda MN de G de longitud 1 corta a los lados AB y AC en X e Y, respectivamente, con M, X, Y, N en ese orden en MN. Sea UV el diámetro de G perpendicular a MN, con U y A del mismo lado de MN. Las rectas AV, BU y CU dividen a la cuerda MN en razones 3 : 2, 4 : 5 y 7 : 6, respectivamente, contando desde M. Hallar la longitud del segmento XY.

 3. Sea ¡₊ el conjunto de los números reales positivos (mayores que 0). Hallar todas las funciones f que asignan a cada número de ¡₊ un número de ¡₊ tales que

x² (f (x) + f (y)) = (x + y) f (f (x) y)

para todos x, y en ¡₊.

SEGUNDO DIA

4. Denotamos d (n) al número de divisores positivos del entero n, incluyendo 1 y n. Hallar todos los enteros positivos n tales que  es un entero primo.

5. Sea ABC un triángulo y D, E, F los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados BC, CA, AB respectivamente. Sea P el segundo punto de corte de la circunferencia inscrita y la recta CF. Se sabe que el cuadrilátero ABPE es cíclico. Demostrar que DP es paralelo a AB.

ACLARACIÓN: La circunferencia inscrita de un triángulo es tangente a los tres lados del triángulo. Su centro es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.

6. Se tiene un tablero de  y una pieza como la de la figura, que cubre exactamente tres casillas del tablero.

Hay que colorear de negro n casillas de manera que sea imposible colocar la pieza sobre el tablero de modo que cubra tres casillas negras. Pero si se coloreara de negro una casilla más, no importa cual, sería posible colocar la pieza sobre el tablero cubriendo tres casillas negras. Determinar el menor valor posible de n. (La pieza se puede girar.)

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