47° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

20 y 21 de abril de 2006

PRIMER DIA

 1. Sea A un conjunto de 100 números positivos tal que si a y b son números de A, con a>b, entonces a+b es un número de A o a-b es un número de A (pueden ocurrir las dos cosas a la vez).Determinar si es posible que haya cuatro números x, y, z, t de A (no necesariamente distintos) tales que x-y=515 y z-t=460.

2. Hay 400 tarjetas y cada una tiene escrito un número en la cara que no se ve. Se sabe que los 400 números son distintos. Fernando tiene que ordenar las tarjetas con los números de menor a mayor, usando sucesivas operaciones del siguiente tipo: en cada operación elige tres tarjetas, y de inmediato el asistente le informa cual de las tres tiene el número mayor y cual el número menor. (Nunca le dicen qué número llevan las tarjetas.)
Determinar si Fernando puede ordenar correctamente las tarjetas de menor a mayor mediante una secuencia de 2035 o menos operaciones.

3. En una circunferencia de centro O se tienen dos cuerdas iguales, AB y CD, que se cortan en L tal que AL>BL y DL>CL. Sean M y N puntos de AL y DL tales que . Demostrar que la cuerda que determina la recta MN al cortar a la circunferencia es igual a AB y a CD.

SEGUNDO DIA

4. Determinar todas las soluciones enteras de la ecuación       
                                                                                        .

5. Julián elige un primo p mayor que 5 y escribe los números , con n natural y . Por ejemplo, si elige p=31, escribe los cinco números 30, 27, 22, 15, 6. Pablo tiene que seleccionar dos de los números que escribe Julián, que sean ambos mayores que 1. El objetivo de Pablo es que uno de estos números sea múltiplo del otro. Determinar si Julián puede elegir el primo p para impedir que Pablo logre su objetivo.

6. Sea n un entero positivo. Se consideran todas las sucesiones de longitud 2n:  tales que todos sus términos sean 1 ó –1, con la siguiente propiedad: toda suma de una cantidad par de términos consecutivos de la sucesión, a partir de un término en posición impar (hasta un término en posición par) es siempre mayor o igual que –2 y menor o igual que 2, es decir,  para todos . ¿Cuántas sucesiones hay?

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