46° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

21 y 22 de abril de 2005

PRIMER DÍA

1. Determinar todos los enteros positivos m, n tales que el rectángulo m´n se puede armar con piezas rectangulares de 1x3 y de 2x5, sin huecos ni superposiciones. (Las piezas se pueden girar).
ACLARACIÓN: Hay que considerar que se usan sólo piezas de 1x3, sólo piezas de 2x5 o los dos tipos de piezas.

2. Hallar todas las funciones f tales que

para todos los números reales x e y.

3. Dado un triángulo acutángulo ABC, se construyen externamente los triángulos equiláteros BCX, ACY y ABZ. Sean A¢ el pie de la perpendicular a CX trazada desde B, B¢ el pie de la perpendicular a CY trazada desde A y C¢ el pie de la perpendicular a AZ trazada desde B. Si N es el punto medio de BC, demostrar que la recta B¢N es perpendicular a A¢C¢.

SEGUNDO DÍA

4. Se eligen 150 números x₁, x₂, ..., x₁₅₀, cada uno igual a  o a ; a continuación, se multiplica el primero por el segundo, el tercero por el cuarto, el quinto por el sexto, y así siguiendo hasta el 149^o por el 150^o, y se suman los 75 productos:

.

Determinar si se pueden elegir los 150 números para que la suma final S sea igual a 121. ¿Y a 111?

5. Sea n un entero positivo mayor que 1 y p un primo tal que n divide a p-1 y p divide a n³-1. Demostrar que 4p-3 es un cuadrado perfecto.

6. Sea n≥2 un entero. Diremos que un conjunto de k personas es amigable de orden n si para toda persona del conjunto, si se excluye a esa persona, hay otras n personas tales que en el grupo de las n personas son todas amigas entre si. Hallar el máximo valor de k tal que todo conjunto de k personas que sea amigable de orden n contenga necesariamente un grupo de n+1 personas que son todas amigas entre sí.
 

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