45° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

22 y 23 de abril de 2004

PRIMER DIA

1. En cada casilla de un tablero cuadrado de 8´8 se escribe un número no negativo de modo tal que se verifiquen las siguientes tres condiciones:

• Si dos casillas son simétricas con respecto a una diagonal del tablero entonces tienen escrito el mismo número.

• La suma de todos los números del tablero es 2004.

• La suma de todos los números de las casillas de las diagonales es 204.

Determinar el máximo valor que se puede obtener como suma de los números de una fila.

2. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, y lados no paralelos BC y DA. Se considera un punto P en AB. Un punto variable Q se mueve a lo largo de CD. Sea X el punto de intersección de BQ y CP, y sea Y el punto de intersección de AQ y DP. Hallar la posición de Q para la cual el área del cuadrilátero PXQY es máxima.

3. Sean p₁, p₂, ..., p_n los n primeros número primos. Marcos debe elegir n+1 números enteros positivos que sólo utilicen estos primos en su descomposición. Ramiro debe elegir algunos de los números de Marcos de modo que el producto de los números que elija sea un cuadrado perfecto. Determinar si es posible, para algún n, que Marcos elija sus n+1 números de manera que a Ramiro le resulte imposible cumplir con su objetivo.

SEGUNDO DIA

4. Sea a₀, a₁, a₂, a₃, … una sucesión infinita de enteros no negativos que verifica las siguientes dos condiciones para todo n³0:

.

Determinar qué valores puede tomar a₂₀₀₄.

5. En una recta se eligieron 99 segmentos rojos y 99 segmentos azules, de manera que cada segmento rojo tiene puntos en común con al menos 50 segmentos azules y cada segmento azul tiene puntos en común con al menos 50 segmentos rojos. Demostrar que hay un segmento azul que tiene puntos en común con todos los segmentos rojos, y hay un segmento rojo que tiene puntos en común con todos los segmentos azules.

6. Sea A un punto exterior a una circunferencia W. Sean B y C los puntos de tangencia de las tangentes desde A. Una recta r, tangente a W, corta a las rectas AB y AC en P y Q, respectivamente.

La recta paralela a AC por P corta a la recta BC en R. Demostrar que al variar r, las rectas QR pasan por un punto fijo.

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